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La corrispondenza che si ha fra i raggi x f d della stella (U,), sarà designata 
col simbolo H t . . 
Per determinare completamente questa corrispondenza basta la seguente os- 
servazione: 
Le superfìcie ? 3 del complesso r dovute alle rette r di un piano generico o- 
dello spazio, formano una rete omografica tanto al sistema delle rette r, come al 
sistema dei piani tangenti nel punto base U. alle superficie medesime. 
Perciò fra il sistema piano (a) e la stella (U t .) viene ad aversi una omografia 
H CT , nella quale ad una retta r e ad un punto 0 di a corrispondono rispettivamente 
il piano t tangente in IL alla superficie <p 3 del complesso r dovuta alla retta r e la 
retta x tangente in IT alla curva 0, del complesso r' che ha il polo nel punto 0. 
Proiettando questo punto 0 da U. si ottiene il raggio d omologo del raggio x 
nella H , perciò la H t =^, al pari della ET'==q, è una omografia. 
Se in essa sono omologhi i piani t , t', i singoli punii 0 di una retta generica 
r di t sono poli di curve 0. tangenti in IL alle singole rette x del fascio (U ; — t). 
Queste curve o 7 si trovano sulla superficie <p 3 dovuta alla r, e però la <p 3 è tangente 
nel punto U t . al piano t. 
Dunque: Le superficie <p 3 del complesso r dovute alle rette di un piano t' della 
stella (IL) sono tangenti nel punto {]. ad un medesimo piano t. / piani r , x si cor- 
rispondono nella omografia H . 
Questa sarà delta omografia caratteristica della stella fondamentale (IT). 
Se la retta x si irova sul cono 5r 4 u ' = o_ l " della congruenza A di vertice IL, il 
corrispondente raggio d sarà la seconda iella uscente da LL dell'inviluppo 4, coor- 
dinato alla x. 
In particolare al raggio LLU, è omologo nella omografia ET il raggio ITU,., (n.° 11). 
Così è agevole riconoscere che nella omografia H. sono uniti i piani tangenti 
alla superficie fondamentale nel punto U. . 
Infatti uno qualunque t di questi tre piani è sostegno di una conica degenere 
xx del complesso r formala da rollo concorrenti nel punto LL , sicché ogni super- 
ficie q> 3 dovuta ad una iella del piano t contiene le x , x e però risulta tangente 
nel punto U< allo slesso piano t. E viceversa. 
Ne segue che: Nell'omografia ET sono unite le tre tangenti in LL alla curva o 7 "' 
del complesso r , che ha il polo nel punto \] i . 
Una generatrice arbitraria g del cono $ 4 H) essendo coordinala al punto U. ed 
al secondo punto d'appoggio P alla curva o 7 m , è un raggio doppio stazionario del 
complesso K se coincide con una delle tre tangenti in U,. alla o 7 ul . 
Invece per un punto qualunque P della o 7 ul , che non sia fondamentale né infi- 
nitamente prossimo al punto U, , il raggio doppio g = ^,P del complesso K non è 
stazionario, e però il punto P non si trova sulla curva doppia della superficie nodale. 
16. Data nello spazio una curva x di ordine n che passi con r. rami per i 
punii fondamentali U,. e che incontri ulteriormente la curva o 7 '" in s punti Q (per 
i = l,... 15), la rigala è del complesso K coordinata alla curva x contiene in 
lutto r-fs. rette della stella (U,), e sono le r. rette omologhe nella omografia II, alle 
tangenti in U, alla curva x e gli s. raggi U { Q coordinali ai punti Q. 
