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CAPITOLO QUARTO 
§ x 
La superfìcie nodale dei complessi r , r. 
17. Per individuare due coniche c, , c\ del complesso r infinitamente prossime 
fra di loro, basta dare la prima di tali linee e la retta r secondo cui il suo piano 
è segata dal piano dell'altra. 
Con ciò resta determinala la superfìcie <p 3 che contiene le due coniche, che è 
quella dovuta alla r ; e però restano del pari determinale la congruenza delle rette 
appoggiate alle due coniche, che è formata dalle tangenti alla supercie <p : , nei punti 
della c t , e l'inviluppo dei piani tangenti ad entrambe le coniche, che è formato dai 
piani tangenti alla 9, nei punti della c 9 . 
Come nel caso generale, cosi nel caso in esame le due coniche c 2 , c\ non 
hanno punti in comune, 0 ne hanno uno solo 0 due, secondo che la retta r co- 
mune ai loro piani non appartiene al complesso K, 0 ne è raggio semplice 0 doppio. 
Se la conica c t si spezza nelle rette c , c concorrenti nel punto D, e se la retta 
r passa pel punto di contatto 0 del piano f» = cc con la superficie fondamentale, 
il piano co' della c\ risulla anche esso tangente a questa superficie, sicché la co- 
nica c' t si spezza anche essa in due rette c, , c\ infinitamente prossime alle c , c ri- 
spettivamente ; e le due congruenze di raggi che hanno per direttrici l'una le c , c, , 
l'altra le c',c' t , risultano essere le congruenze lineari formale dalle tangenti nei 
punti delle c,c' alla superficie ? S = D 2 dovuta alla r. 
1 fasci di raggi delle due congruenze che hanno per centro il punto D, sono 
nei piani t,t' tangenti lungo le rette c,c al cono Xj che nel punto D è tangente 
alla superficie 9, . Perciò i piani x , r coincidono con i piani che dal punto D pro- 
iettano le rette c t ,c\, e però hanno in comune la cougiungente i punti infinita- 
mente prossimi D = ce, D, = c i c' i della superficie nodale, cioè la retta / = tt' è tan- 
gente nel punto D all'anzidetta superficie. 
Se si tiene fissa la conica ce e si fa variare la retta r nel fascio (0 — w), la 
superficie <p 3 descrive il fascio che ha per base la conica ce e la curva o 1 = D' che 
ha il polo nel punto 0; il cono x 3 descrive il fascio che ha per base i raggi e, e e 
le tangenti u , u nel punto 0 alla curva o 7 ; e la retta / — che è il raggio polare 
del piano u = cc rispetto al cono %, — descrive il piano t determinato dai raggi 
t' = cu— cu , t" = cu— cu. 
Dunque : // piano t tangente in un punto generico D alla superficie nodale è 
completamente determinalo dalle due linee dei compiasi r , r che hanno il punto 
doppio D, e propriamente se la prima linea si scinde nelle rette c , c', e la seconda ha 
per tangenti in D le rette u , u', il piano t passa per le rette t' = cu— c'u' , t" = cu— cu. 
Queste rette sono le posizioni che assume la tangente t quando il cono x, si 
scinde nei piani cu, cu 0 nei piani cu , cu. 
Anche nel caso che le u,u (0 le c,c) coincidano fra di loro, il piano t, che 
