— 24 — 
è reciproco al piano ce rispetto a tutti i coni x 2 , risulla determinato, e contiene la 
retta ?i 0 (o la c 0 ) in cui coincidono le u , u' (o le c , c). 
A conferma dei risultali ottenuti può farsi la seguente osservazione. 
Se rispetto ad una data superficie di 3° ordine ? 3 affatto arbitraria si assumono 
le prime polari dei punti di una retta r della superficie, si ottiene un fascio di qua- 
drane che ha per base la r ed una cubica gobba c 3 , appoggiala in due punti alla r, 
luogo dei poli di questa reità rispetto alle coniche della superficie situate nei singoli 
piani del fascio (r). Perciò la cubica gobba c s passa per i punti doppi D,,...D 5 
delle coniche degeneri della <p a siluate nei piani del fascio (r), ed è tangente alla 
superficie nei punti di appoggio alla r. 
Se la superficie <p 3 presenta un punto doppio D, e se in questo punto è tan- 
gente ad un cono ordinario x», la quadrica polare di un qualunque punto P della r 
passa per D ed in esso è tangente al piano t polare del punto rispetto al cono x, , 
sicché col variare del punto P sulla r, nell'ipotesi che questa non passi pel punto 
D, il piano t descrive il fascio che ha per asse il raggio polare t del piano Dr 
rispetto al cono x 8 - Perciò la cubica gobba c 3 passa pel punto D ed è tangente in 
questo punto al raggio l; e dei 5 punti D, , . . . D 5 del caso generale due coincidono 
nel punto D sulla curva c, e però anche sulla retta t. , 
Questo conferma ciò che per altra via si era ottenuto. 
Sempre nell'ipotesi che la retta r non passi pel punto D, può accadere che 
il cono x t si spezzi in due piani x , X- In tale caso la tangente t nel punto D alla 
cubica c 3 viene a coincidere con la retta xx, e dei 5 punti D,,...D 5 tre coincidono 
nel punto D sulla cubica c 3 e due sulla retta t. 
Infine se la retta r passa pel punto D, e se il cono x 4 si scinde in due piani 
X,X, il primo dei quali contenga la retta r e seghi ulteriormente la superficie <p s se- 
condo le rette a , a', la cubica gobba c a si scinde nella retta r, coniugata armonica 
della r rispetto alle a, a, ed in una conica c t . E siccome il fascio di quadriche 
che ha per base le r,r', c 2 , comprende la quadrica degenere xx, polare del punto D, 
perciò la c, giace nel piano x' e nel punto D è tangente alla retta l = xx, sicché 
dei 5 punti D,,...D 5 tre coincidono nel punto D sulla c t e due sulla l. 
Da quest'ultima proprietà riesce agevole dedurre che la superficie nodale dei 
complessi V , r' è tangente in un punto fondamentale U, ai piani uniti della omografia 
caratteristica H.. 
Infatti in un piano unito x la conica del complesso r si spezza in due rette 
a , a uscenti da IT, e però la superficie ?, = U*raa'o"\ dovuta ad una retta arbi 
trarla r del fascio (U, — x), ha un punto doppio biplanare in U f . 
Dei due piani tangenti uno è il piano x; mentre l'altro passa per la tangente 
in U. alla curva o 7 (<1 situata fuori del piano x, e col variare della retta r nel fa- 
scio (U, — x) descrive il fascio che ha per asse l'anzidetta tangente. 
Perciò la retta t sezione dei due piani, col variare della retta r, descrive anche 
essa lutto il fascio (ty — x); e siccome in ogni sua posizione contiene, per quanto 
si é detto, due punti della superficie nodale coincidenti in U i} perciò il piano x è 
tangente in U,. alla superficie. 
18. Kesla ora a determinare l'ordine della superfìcie nodale. A ciò occorrono 
i ragionamenti che seguono. 
