— 25 — 
Nel complesso r vi sono due curve c 7 tangenti in un punto dato 0 ad un 
piano dato « che passi pel punto. I poli P, , P, delle due curve sono sul raggio o 
coordinato al punto 0; e secondochè questo punto è o no sulla conica c, del 
complesso r situata nel piano ir, il raggio o giace o no su tale piano, e la curva 
o 7 che ha il polo nel punto 0, la quale in questo punto è tangente al raggio o, 
è o no tangente in 0 al piano n. 
Corrispondentemente il punto 0 nel primo caso coincide con uno dei punti 
P,,P,, mentre nel secondo caso è diverso da questi due punti. 
Tenendo fisso il piano ir e facendo variare il punto 0 su di una retta x di 
tale piano, resta determinata una curva c luogo dei poli delle linee del complesso 
r' tangenti al piano ir nei punti della x. 
Questa curva c si trova sulla superfìcie rigata 4 coordinata alla retta x, e pro- 
priamente incontra in due punti P, , P, ciascuna generatrice o della 4. Inoltre essa 
incontra la direttrice semplice x della rigata nei due punti di sezione con la conica 
del complesso r che è nel piano ir , onde risulta di 6° ordine e si appoggia in 
quattro punti alla direttrice doppia della superficie. 
Due di questi punti sono i punti doppi cuspidali D. E della superfìcie, poli delle 
due curve c 1 tangenti alla retta x\ mentre ciascuno degli altri due punti è polo di 
una linea c 7 bisegante della retta x e tangente al piano ir in uno dei punti di 
sezione. 
Tenendo fissa la retta x e facendo variare il piano « attorno a questa retta, 
la curva c e varia descrivendo un fascio sulla superficie 4 3 coordinala alla x. 
Infatti per un punto generico P della 4 3 , che sia polo di una curva c 7 appog- 
giata alla reità x nel punto 0, passa soltanto la curva c 6 del sistema che si ottiene 
assumendo nel fascio (x) come piano ir quello che contiene la tangente in 0 
alla c 7 . 
Fanno eccezione soltanto i punti doppi cuspidali D,E innanzi detti e i poli 
delle curve c 7 che hanno un punto doppio sulla x. Tutte le curve c e passano sem- 
plicemente per questi punti. 
Ora in una rappresentazione piana della superficie è s , nella quale il sistema 
rappresentativo sia costituito da coniche aventi in comune un punto Q, ogni curva 
c 4 ha per immagine una curva c 4 = Q ! , sicché il numero dei punti base del fascio 
delle r t è 12, e però il numero delle curve del complesso r che hanno un punto 
doppio sulla retta x è 10. Dunque: 
La superficie nodale dei complessi V , r' è di ordine 10. 
Se la retta x passa per un punto fondamentale U i5 per ogni piano ir del fa- 
scio (x) resta sempre determinata una curva c, luogo dei poli delle curve c 7 che si 
appoggiano alla x, oltre che in U, , in un secondo punto 0 e che in questo punto 
risultano tangenti al piano ir. 
Come nel caso generale la curva c si appoggia in due punti ad ogni gene- 
ratrice o della schiera 4 coordinala alla x. Di più nel caso in esame ogni genera- 
trice x della schiera opposta alla 4 si appoggia del pari alla curva in due punti. 
Infatti la superficie <p 3 dovuta alla x passa per la a;, e però risulla tangente al 
piano ir in due punti. I raggi coordinali a questi punti segano la x nei punti di 
appoggio della x alla curva. 
Atti — Voi. XV — Serie 2" — N. 8. I 
