— 26 — 
Uno di questi punii coincide col punto U t . , quando la x coincide con la x y 
sicché la c è una curva di 4° ordine e di l a specie che passa semplicemente perU<. 
Col variare del piano attorno alla retta x, la curva c 4 varia sulla quadrica 
sostegno della schiera £, descrivendo un fascio che oltre al punto U, ha per base 
i poli delle curve del complesso r' che hanno un punto doppio sulla retta x di- 
verso da U,. . Ciò prova che : 
Ogni punto fondamentale U t . è triplo per la superficie nodale. 
La reità u a che unisce i punti fondamentali U,. , U, , sega ulleriormente la su- 
perficie nodale nel punto d'appoggio alla retta u' a che con la h„ forma una conica 
del complesso r, e nei tre punti d'incontro con la curva c a ' ai che con la u a forma 
una curva c 7 del complesso r. 
Infine è evidente che la superficie nodale contiene le 20 rette c che contate 
due volle formano coniche del complesso r. 
19. L'ordine della curva doppia della superficie nodale si determina facilmente 
nel seguente modo. 
Si assuma un punto generico 0 dello spazio e si consideri il complesso di 
rette H formato dalle tangenti alle coniche del complesso r che sono nei piani 
della stella (0). 
Il cono del complesso che ha per vertice un punto generico P dello spazio, 
è circoscritto alla superficie <p s dovuta alla iella r = OP, e però risulta di 4° ordine 
ed ha la generatrice doppia r. 
Se il punto P si trova su una conica degenere ce del complesso r situata in 
un piano della stella (0), la superficie <?, dovuta alla reità r = OP contiene l'anzi- 
detta conica; sicché il cono circoscritto alla superficie che ha il vertice nel punto P, 
oltre alla r ha per generatrice doppia quella delle due rette c , c, che passa pel 
punto P. Perciò il complesso H è di 4° grado ed ha per raggi doppi le rette della 
stella (0) e le generatrici della superficie Jr 15 formala dalle coniche degeneri del com- 
plesso r che sono nei piani dell'anzidetta stella *). 
Le generatrici della 5 U sono raggi semplici della congruenza A, e però la ri- 
gata comune al complesso H ed alla congruenza A comprende la S 15 , contata due 
volte, ed una rigata p di ordine 4(10 -f- 5) — 15 . 2 = 30. 
Ora è agevole riconoscere che questa rigata p è costituita dai raggi doppi sta- 
zionari del complesso K. 
Infatti una generatrice arbitraria x della p non fa parte della conica c t del 
complesso r situala nel piano Ox, ma risulta tangente a tale conica; e però i suoi 
punti coordinati coincidono nel punto di conlatto. 
Viceversa un raggio x della congruenza A che sia stazionario pel complesso K, 
risulta tangente alla conica del complesso r situata nel piano o) = Ox, e però fa 
parte del complesso H senza appartenere alla $ it . Dunque: 
1 raggi doppi stazionari del complesso K costituiscono una rigata p di grado 30. 
Alla p è coordinata la curva doppia k della superficie nodale. Questa curva ha 
un punto triplo in ogni punto fondamentale (n.° 16); e però se é di ordine n, 
sarà (n.° 10) : 
30 = 3/i — 3.15 . 
*) Ctr. Not. cit. Su di un nintema lineare di coniche nello xpazio, n.° 4. 
