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Perciò: La curva doppia della superficie nodale è di ordine 25. 
Un piano w che sia soslegno di una conica degenere del complesso V formata 
da relte coincidenti c , c\ contiene altri 8 raggi doppi r. del complesso K. coordinati 
rispettivamente alle coppie di punti r.(cc'). Perciò gli 8 raggi risultano stazionari; 
ed i punti in cui segano la c, appartengono alla curva k. 
Dunque: Una reità c che contata due volte formi una conica del complesso r, 
incontra la curva doppia della superficie nodale in 8 punti. 
Un piano t che passi [ter la retta c, sega ulteriormente la superficie secondo 
una curva di 9° ordine che incontra la c negli 8 punti di appoggio alla curva doppia, 
ed in un ultimo punto, nel quale il piano t risulta tangente alla superficie. Perciò: 
La corrispondenza che intercede fra i punti di una retta c ed i piani tangenti in 
questi punti alla superficie nodale, è proiettiva. 
§ XI. 
Le congruenze del complesso K. La superficie singolare dei complessi r,r. 
20. Data nello spazio una superficie arbitraria x di ordine n, la quale nei punti 
fondamentali \J. abbia punti multipli di ordine \\, per r f >0, la congruenza 1 del 
complesso K che, oltre alle sielle (UJ, è coordinata alla superficie x, risulla di classe 
n' = 2n e di ordine m'=7n — 2r.. 
Infatti i raggi della congruenza situati in un piano generico dello spazio sono 
coordinali uno ad uno ai 2n punti di sezione della superficie x con la conica del 
complesso r situata in quel piano; e cosi i raggi della congruenza che escono da un 
punto generico dello spazio, sono coordinati uno ad uno ai punti non fondamentali 
sezioni della superficie x con la curva del complesso r' che ha il polo in quel punto. 
In generale sulla superficie */ esiste un numero finito di coppie singolari dei 
complessi r,r' (n.° 3). Corrispondentemente vi è un numero finito di raggi doppi 
del complesso K, che risultano doppi per la congruenza 2. 
Dal punto fondamentale U t escono m! — 2r 4 raggi della congruenza, coordinati 
ai punti non fondamentali sezioni della superficie x con la curva o"\ Inoltre, se 
r >0, esiste nella congruenza un cono di ordine r. avente il vertice nel punto U,., 
omologo nella omografia caratteristica H. al cono tangente in XJ. alla superficie x 
(n.° 15). 
Infine dalla costruzione data pei raggi della congruenza che escono da un 
punto o giacciono in un piano, segue che: 
La superficie focale della congruenza S è l' inviluppo dei piani sostegni delle co- 
niche del complesso r tangenti alla superficie x , ed è il luogo dei poli delle curve 
del complesso r' tangenti alla %• 
I piani focali ed i fuochi di un raggio generico o della S si ottengono consi- 
derando il piano tangente alla superficie x nel punto 0 coordinato al raggio o, ed 
il cono tangente nel punto 0 alla superficie <p, dovuta alla o. Le due relte comuni 
al piano ed al cono determinano con la o i due piani focali t,t; ed i punti 
T,T omologhi di questi due piani nella proietlivilà caratteristica dovuta al raggio o 
del complesso K (n.° 14), sono i fuochi corrispondenti. 
