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La superficie focale della congruenza è tangente nei punti T , T ai piani t',t 
rispettivamente *). E per ciascuno dei fasci (T — t') , (T — t) si ha che la conica 
del complesso r che è nel piano del fascio, e la curva del complesso r' che ha 
il polo nel centro, risultano tangenti nel punto 0 alla superficie x senza toccarsi 
in tale punto, sicché le superficie <p 3 del complesso r dovute alle singole rette 
del fascio, conlenendo le anzidette due linee, risultano tangenti nel punto 0 alla 
superficie x- Viceversa se la superfìcie <p s dovuta ad una retta r risulta tangente 
alla superficie x in un punto 0, la retta r è tangente alla superficie focale della 
congruenza S nel punto (e nel piano) che essa determina col raggio o coordinato 
al punto 0. Perciò la proprietà caratteristica di una tangente della superficie focale 
della congruenza a, si è che la superficie <p 3 dovuta a tale retta, risulta tangente alla 
superficie x. 
Per determinare la classe della superficie focale basta rappresentare su di un 
piano la superficie <p 3 dovuta ad una retta generica r dello spazio. 
Se le linee piane della <p 3 hanno per immagini curve c, eesP^.P, e la retta r 
ha per immagine la conica c s = P,...P 6 , la linea k ìn sezione della <p s con la su- 
perficie x avrà per immagine una curva c Sn = (P i ... P 6 ) n U' t ri , e le coniche della <p, 
tangenti alla superficie x situate in piani del fascio (r) avranno per immagini le 
rette uscenti dal punto P t che toccano altrove la curva c Sn , sicché il numero di tali 
coniche è 
n" = 3n (2n — 1) — n* - n — 5»(n — 1) — 2r.(r. — 1) = n(3« + l)^2r t (r — 1) . 
Questa è la classe della superficie focale. 
La rigata costituita dai raggi della congruenza S appoggiati alla retta r è coordi- 
nata alla curva £ Sn =<p 3 x , e però ha lo stesso genere p della curva c, n =(P ... P)"U', r< im- 
magine della k in . Ed è 
(3n-l)(3«-2) fl n(n-l) V r ( (r < -1) 3w(»-l) , , 2r.(r-l) 
P- 2 -0 g * 2~ 2 + A 2 • l) 
La classe della congruenza è n' = 2n\ perciò si ha anche 
n" = 2(n'+p — ì) . 2) 
Questa è la nota relazione che intercede fra la classe di una congruenza di 
rette, la classe della superficie focale ed il genere della rigata sezione della con- 
gruenza con un complesso lineare **). 
Dalla formola duale 
m" = 2(m' + p-l) , 3) 
*) Sturm, Liniengeometrie. II Theil , n.° 290, 291. 
'*) Vegg. ad e». Fano, Lezioni di Geometria della retta. Roma 1896, n.' 71 e 66. 
