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sostituendo ad m ed a p i valori già trovati, si deduce che l'ordine m della super- 
ficie focale della E è 
m"=n(3»-f 11) — 2r (r. + 1) . 
Con ciò restano determinati tutti i numeri caratteristici della congruenza E. 
La classe della E è un numero pari. Ciò si verifica anche per la congruenza A 
dei raggi doppi, e però: 
Tutte le congruenze del complesso K sono di classe pari. 
La congruenza A è l'unica che non è riferita con corrispondenza biunivoca 
alla superficie coordinala a, e però è l'unica che non soddisfa alle proposizioni ge- 
nerali ora stabilite. 
Le coppie di punti coordinate ai suoi raggi sono le coppie singolari dei com- 
plessi r,r (ii." 5); e però la superficie a, luogo di queste coppie, si dirà super- 
ficie singolare dei due complessi. 
Essa é segata da una conica del complesso r in 10 coppie, e da una linea 
del complesso r, oltre che nei punti fondamentali, in 5 coppie. Inoltre nel punto 
fondamentale U,. la a è tangente al cono di 4° ordine che nell'inversa della omo- 
grafia caratteristica H. corrisponde al cono della congruenza A di vertice U.. Perciò: 
La superficie singolare dei complessi r , r' è di 40° ordine e nei punti fondamen- 
tali ha punti quadrupli. 
Nella corrispondenza involutoria determinala sulla a dalle coppie singolari, ogni 
punto U t . ha per corrispondente la curva o^sU/, mentre la linea dei punti uniti 
è la curva k del § prec. 
Ogni superficie ? 3 dovuta ad una qualunque retta r dello spazio sega la a se- 
condo una curva unita nell'anzidetta corrispondenza, e propriamente l'involuzione 
j* che ne risulta sulla curva, ha le coppie di punii coniugali sui singoli raggi della 
congruenza A appoggiati alla r. Ora la curva, per la 1) è di genere 46; sicché la 
rigata p 15 degli anzidetti raggi, pel teorema di Zeulhen, risulla di genere 16. Cor- 
rispondentemente dalle 2), 3) si ha che: 
La superficie focale della congruenza A è di ordine 40 e di classe 50. 
21. Ad un piano generico x dello spazio è coordinata una congruenza S di 
classe 2 e di ordine 7. I raggi r i , . . . r u della congruenza A situati nel piano x sono 
doppi per la congruenza S, nè questa ammette altri raggi multipli. 
Gli inviluppi piani della S sono l'inviluppo j 6 ={r l .'.-'r M Y del complesso K che 
è nel piano x, e gli inviluppi j a lM ==r* coordinati ai raggi r i , . . . r 10 . 
La superficie focale della congruenza S è di classe 4 e di ordine 10. Questa 
superficie % è l'inviluppo dei piani delle coniche del complesso r tangenti al piano 
X, ed è il luogo dei poli delle curve del complesso V tangenti allo slesso piano. 
Per ogni reità generica r del piano x esistono due coniche del complesso r 
tangenti alla r. I piani delle due coniche appartengono alla superficie inviluppo x', 
nè questa contiene altri piani del fascio (r), oltre il piano x- I due piani indicati 
coincidono fra di loro se la retta r appartiene all'inviluppo j t , mentre uno di essi 
coincide col piano x, se la retta r è tangenle alla conica c t del complesso r che 
è nel piano x- 
