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Da quest' ullima proprietà segue che la superficie % è tangente al piano doppio 
X nei punti della conica c t . 
Considerazioni analoghe possono ripetersi pel piano T h dell'inviluppo / t ,w . La 
superficie 9, dovuta ad una iella r di questo piano, contiene la conica degenere 
r h r' h , e però sega il piano x oltre che nella r h secondo una conica r,. 1 due piani 
tangenti a questa conica che passano per la retta r , appartengono alla superficie 
inviluppo né questa presenta altri piani del fascio (r) diversi dal piano r k . 
Uno dei due piani indicali coincide col piano r h se la conica r, è tangente 
alla r h . Ora col variare della retta r nel piano r k , la conica r t varia omografica - 
mente in una rete; e però le coniche r t tangenti alla r h hanno per omologhe le 
rette r di un inviluppo di 2 a classe. 
La conica aderente a questo inviluppo è linea di contatto della superfìcie x col 
piano T h . 
Tutto ciò che si è detto , vale nel caso che il piano / non contenga alcun 
punto fondamentale. Senza difficoltà si determinano le particolarità che acquista la 
congruenza S quando il piano % passi per uno, due 0 tre punti fondamentali. 
Cosi senza difficoltà si determinano i numeri caratteristici del complesso r, es- 
sendo già stata determinata la classe dell'inviluppo dei piani sostegni delle coniche 
del complesso r soddisfacenti ad una data condizione elementare. 
22. La congruenza S sezione del complesso K con un complesso di rette R' di 
grado v, è di classe 6v. Perciò la superficie % coordinata a siffatta congruenza è di 
ordine 3v. 
L'ordine di multiplicità per la superfìcie del punto fondamentale \] i si ottiene 
notando che una retta generica della stella alla quale sia coordinata la schiera 
rigala p, sega la superficie, al di fuori del punto U<, nei punti d'incontro con i raggi 
del complesso K' situati sulla p, diversi dal raggio della schiera che passa per U< , 
e però il numero dei delti punti d'incontro è 2v — a i7 se la stella (UJ è costituita 
da raggi multipli di ordine or pel complesso K' (per a.>0). Perciò l'ordine di mul- 
tiplicilà del punto U, per la superficie •/ é »'+■«,. 
Con questi numeri restano determinale lutte le caratteristiche della congruenza S. 
In particolare le congruenza S s sezioni del complesso K con i complessi lineari 
di rette dello spazio hanno per immagini superfìcie di 3° ordine formanti un sistema 
lineare oo 5 , che ha per base i punti U, , . . . U 15 . 
Dunque : l 45 punti fondamentali di un complesso bilineare di coniche costitui- 
scono il gruppo base di un sistema lineare oc s di superficie di 3° ordine. 
Questo sistema comprende quello co* e di indice 2 costituito dalle superfìcie 
9, dovute alle singole rette dello spazio (n.° 2). 
Qualunque sia la congruenza S del complesso K, il suo studio può farsi di- 
pendere da quello della corrispondente superGcie 
in particolare la S è razionale se la superfìcie */ è omaloidica, e propriamente 
una rappresentazione piana della % fornisce una rappresentazione piana della con- 
gruenza, nella quale le rigale sezioni della congruenza con i complessi lineari 
hanno per immagini le linee immagini delle curve di sezione della % con le su- 
perficie 9 S = U, . . . U 15 . 
