§ XII. 
La superfìcie focale della congruenza A. 
23. I fuochi ed i piani focali di un raggio arbitrario c della congruenza A si 
determinano nel seguente modo. 
Alla conica degenere del complesso r che comprenda la c, si associa una linea 
c^D* del complesso r' che, oltre al punto doppio D = cc, ha in comune con la c 
due punti Q t , Q, (n.° 7). 
Perciò le superficie cp, dovute alle rette del fascio che ha per sostegni il piano 
w della ce ed il polo 0 della g - 7 , avendo in comune queste due linee, risultano tan- 
genti nei punii Q, , Q t ai piani x, , X s che la c determina con le tangenti alla c 7 nei 
detti due punti. 
Di conseguenza nel fascio costituito dalle superficie in discorso, ve ne sono due 
che, oltre al punto D, hanno un secondo punto doppio, l'una nel punto Q, , l'altra 
nel punto Q 4 , e che perciò risultano tangenti lungo la c l'una al piano x, , l'altra 
al piano x, ; sicché due rette della prima superficie appartenenti al fascio (Q, — x t ) 
e due rette della seconda situate nel fascio (Q, — x,) coincidono nella c. 
Le rette indicate essendo diverse dai raggi Q,0 , Q 4 0 coordinati ai punti Q, , Q t , 
appartengono alla congruenza A, sicché in questa i punti Q, , Q, e i piani x, , X t 
sono i fuochi e i corrispondenti piani focali del raggio c. 
La superficie focale della A risultando tangente nei punti Q, , Q, ai piani x,,Xi 
rispettivamente, risulta del pari tangente in questi punti alla curva c 7 = D\ Quel che 
si è detto pel raggio c, può ripetersi pel raggio c', e si conclude che: 
Le due congruenze costituite dalle linee dei complessi r , r' dotate di punto doppio 
hanno la stessa superficie focale; e propriamente due linee dei due complessi aventi 
il medesimo punto doppio risultano tangenti a tale superficie negli stessi quattro punti. 
Come nel caso generale le superficie <p s dovute alle rette dei fasci (Q,— x,) , 
(Q, — xj risultano tangenti alla superfìcie o coordinala alla A, in uno qualunque dei 
due punti coordinati al raggio c. In tale modo restano determinati i piani tangenti 
alla superficie a' nei singoli suoi punti. 
Le cose delle valgono anche nel caso che la c sia un raggio doppio staziona- 
rio del complesso K, nel qual caso la c risulla tangente alla superficie a nel 
punto coordinato 0. 
Essa è del pari bilangente alla superfìcie fondamentale dei complessi r , r, e 
propriamente locca la superfìcie nei piani delle due coniche del complesso r che 
hanno un punto doppio nel punto 0, e rispettivamente nei poli delle due curve del 
complesso r' associale alle predelle linee (n.° 7). 
Da tutto ciò si conclude che: La rigata dei raggi doppi stazionari del com- 
plesso K è circoscritta alla superficie singolare ed alla superficie fondamentale dei 
complessi ? , r'. Delle due linee di contatto la prima è coordinata alla rigata, l'altra 
ha per corde le singole generatrici della superfìcie. 
