— 32 — 
CAPITOLO QUINTO 
§ XIII. 
I sistemi generatori di un complesso bilineare di coniche. 
24. Dato un complesso bilineare di coniche nello spazio, le linee del complesso 
che sono nei piani di un fascio, costituiscono una superfìcie di 3° ordine, perchè 
una sola di esse passa per un punto generico dell'asse del fascio. 
Quando questa retta r varia in un piano ir, la corrispondente superOcie <j> 3 
varia in una rete R w , giacché la superfìcie del sistema che passa per due punti 
dati in posizione generica, è quell'unica dovuta alla retta del piano « che si ap- 
poggia agli assi dei due fasci formati dai piani delle coniche del complesso che 
passano rispettivamente per quei due punti. 
La rete R n risulta riferita omograficamente al sistema delle rette a cui è dovuta. 
Essa ha per linea base la conica c del complesso che è nel piano ir. 
Ora si assuma ad arbitrio una quadrica non degenere <p s che passi per la c , 
e si considerino le tre curve di 4° ordine e di l a specie ulteriori sezioni della 9, 
con tre superfìcie a, a', a" della rete R^ dovute a tre rette 1,1', l" del piano iz non 
concorrenti in un medesimo punto. 
1 tre fasci di quadriche A , A , A" che hanno per basi le linee indicale, hanno 
in comune la quadrica <p 2 , né si trovano in una medesima rete, sicché apparten- 
gono ad un sistema lineare od 3 2. Inoltre i tre fasci sono riferiti proiettivamente ai 
fasci di piani (/) , (/') , (/") rispettivamente in modo da generare la superfìcie o , o\ o". 
In ciascuna delle tre proiellività al piano n corrisponde la quadrica <p, , e però esisle 
una omografia ù fra le quadriche del sistema 2 ed i piani dello spazio, nella quale 
ai fasci A, A', A" corrispondono rispettivamente i fasci (/) , (/') , (/ ") con le tre pro- 
iellività indicate. 
Si consideri il complesso di coniche r generalo da tale omografia. 
Le tre superfìcie <p 3 del complesso r dovute alle rette 1,1', t coincidono rispet- 
tivamente con le 0,0,0"; sicché la rete delle superficie <p 3 del complesso r dovute 
alle rette del piano « coincide con la rete R„ , e di conseguenza in un qualunque 
piano «' dello spazio la conica del complesso dato e quella del complesso r coin- 
cidono nella conica di sezione del piano ir' con la superfìcie <p s della rete R„ dovuta 
alla retta r 0 = nn'. 
Perciò i due complessi coincidono in un unico; e si ha il teorema che: 
Un complesso bilineare di coniche può sempre riguardarsi generato da una omo- 
grafia intercedente fra i piani dello spazio e le quadriche di un sistema lineare tri- 
plamente infinito. . 
Inoltre dal ragionamento fallo risulla che: 
Una rete di superficie di 3° ordine che abbia una conica base e che nel piano di 
questa linea non abbia altri elementi base, determina un complesso bilineare di coniche, 
costituito dai [usci delle singole superfìcie della rete, che comprendono quella conica. 
