— 33 — 
La genesi del complesso indicata nella precedente proposizione vale anche nei 
vari casi particolari. 
Inoltre pel fatto che una rete di superficie di 3° ordine avente per base una conica 
data, è determinata quando se ne conoscano ulteriormente 10 punti base, si ha che: 
Un complesso bilineare di coniche è univocamente determinato quando ne sono 
dati 10 punti fondamentali ed una conica, in posizione generica fra di loro. 
25. Dato un complesso bilineare di coniche r, si è visto che per determinarne 
un sistema generatore basta assegnare la superficie <f } del sistema che passa per 
una conica c s del complesso. Nel sistema 2 che in tale modo risulla determinato, 
la quadrica <p s è l'omologa del piano n della c ì . 
Perciò Ossute ad arbitrio due coniche c ì ,c\ del complesso, fra i due sistemi 
di quadriche che hanno per basi queste due linee, viene ad aversi una corrispon- 
denza biunivoca quando si riguardino omologhe due quadriche <p, , <p'. 2 che appar- 
tengano ad un medesimo sistema generatore del complesso r, due quadriche cioè 
che corrispondano rispettivamente ai piani k , ri delle c 2 , c\ in una medesima omo- 
grafia ci generatrice del complesso. 
In questa omografìa i fasci omologhi (r) = (cj =:<p 4 <p' a generano la superficie 
<P 3 del complesso dovuta alla retta r, asse del primo fascio; sicché questa superficie 
contiene anche la curva c k base del secondo fascio, vale a dire che le <p 2 , se- 
gano la <p 3 , oltre che nelle linee fisse c 5 , c\ rispettivamente, secondo la medesima 
curva c i , la quale varia sulla <p 3 col variare delle due superficie. 
Perciò la corrispondenza in esame è una omografia. 
La superficie generala da due fasci omologhi (c 4 e,) , (c\e\) oltre la <p 3 comprende 
un piano co. Questo contiene le linee basi t? 2 , e\ ed appartiene alla coppia di su- 
perficie omologhe «co , rito dei due fasci. 
Infine dal fallo che la superficie <p 3 passa per i punti fondamentali U, , U 15 
del complesso r, segue che nell'omografia in esame ad una quadrica cp 2 che con- 
tenga un punto U f , corrisponde una quadrica <p' 2 che contiene lo slesso punto. 
Assumendo 4 punii fondamentali si riconosce che: Le quadriche che passano 
per le singole coniche del complesso r e per 4 punti fondamentali fissati ad arbitrio 
costituiscono un sistema lineare generatore del complesso. 
Da questa proposizione segue l'altra che: Un complesso bilineare di coniche è 
univocamente determinato quando ne sono dati 5 punti fondamentali e 4 coniche in 
posizione generica fra di loro. 
Infatti escludendo il punto dato U 3 , le 4 quadriche che passano per gli allri 
punti dati e rispettivamente per le coniche dale a sy b iì c i1 d i , determinano un si- 
stema lineare oo 3 . Ora esiste una omografia fra questo sistema e quello dei piani 
dello spazio che alle quattro quadriche innanzi delle fa corrispondere rispettiva- 
mente i piani delle coniche a s , b % , c s , d t , e che alla rete del sistema che ha un 
punto base nel punto U„ , fa corrispondere la stella di piani che ha il centro nello 
stesso punlo. 
Il complesso generato da questa omografia è quello indicalo nel teorema. 
Infine occorre far cenno della corrispondenza che viene ad aversi fra due si- 
stemi generatori del complesso r quando si riguardino omologhe due superficie dei 
due sistemi che determinino la medesima conica del cumplesso. 
Atti — Voi. XV — Serie 2 a — N. 8. ■"' 
