- 35 — 
a due rette incidenti delle due stelle, hanno in comune una conica nel piano delle 
due rette; e però la rete a cui appartengono, determina un complesso bilineare di 
coniche che contiene le due congruenze. 
Questa proposizione equivale all'altra che: 
Due curve gobbe di 7° ordine e di genere 5 che siano su di una medesima su- 
perficie di 3' ordine ed abbiano la stessa retta unisecante su questa superficie, si se- 
gano in 15 punti. Questi costituiscono il gruppo dei punti fondamentali di un com- 
plesso bilineare di coniche. 
3.° Due sistemi lineari oc 3 di quadriche prospettivi rispetto ad un piano &> 
(riferiti cioè fra di loro omograficamente in modo che due quadriche omologhe q> 2 , <f t se- 
ghino il piano (o secondo una medesima conica variabile) sono sistemi generatori di 
un complesso bilineare di coniche. 
Infatti la conica c t ulteriore sezione delle <p 2 , <p', giace in un piano n, che col 
variare della <p s in un fascio, varia a sua volta in un fascio; sicché la corrispon- 
denza che ne risulta fra le quadriche <p, del primo sistema dato ed i piani n dello 
spazio, è una omografia. 
27. Ciò posto, si hanno i seguenti teoremi: 
1. ° Un complesso bilineare di coniche è univocamente determinato quando ne 
sono dati 11 punti fondamentali e la conica che è nel piano di tre di questi punti. 
Infatti se sono dati i punti U, , . . . U, t e se è data la conica c ì che è nel piano 
dei tre punti U, , U s , U, e che perciò passa per essi, fra le superficie di 3° ordine 
che hanno in comune la conica c ì ed i punti U 4 , . . . U u , ve ne sono tre ben deter- 
minale che hanno rispettivamente due punti doppi nei punti U ì , U 3 ; U 3 , U, ; U t , U 2 . 
Esse determinano una rete costituita da superficie di 3° ordine che oltre ad avere 
in comune la c s ed i punti U t , . . . U u , risultano tangenti fra di loro nei punti 
U t , Uj , U 3 della c 2 , sicché il complesso di coniche individuato da tale rete sod- 
disfa alle condizioni indicate nel teorema. 
2. ° Un complesso bilineare di coniche è univocamente determinalo quando ne 
sono dati 9 punti fondamentali e le 4 coniche situate nei piani di un tetraedro avente 
i vertici in k punti dati. 
Infatti se sono dati i punii U, , . . . U 9 e le coniche c l , c s , c, , c 4 circoscritte ri- 
spettivamente ai triangoli del tetraedro U^UJJ^ , restano determinale le superficie 
?3 , =u 1 1 uV 1 c 4 u 3 ...u 0 , ? 3 " 2 -u 2 3 uVAU 5 ...u a , 9 3 ,3, =u 2 1 uv 3 ^u 6 ---u 9 ; 
e ragionando su queste come nel caso precedente si dimostra il teorema. 
3. ° Un complesso bilineare di coniche è univocamente determinato quando ne 
sono dati 7 punti fondamentali e le 7 coniche situate nei piani di due tetraedri aventi 
i vertici in 5 punti dati, i primi tre comuni, gli ultimi distinti. 
Infatti se sono dati i punti U, , . . . U 7 e le coniche c ; c i , c t , c 3 ; c\ ,c t , c\ , la 
prima circoscritta al triangolo U 1 U 2 U 3 e le altre circoscritte rispettivamente ai re- 
stanti triangoli dei due tetraedri U^U^ , UJJJJ3IL , basterà ragionare come nei 
casi precedenti sulle superficie 
