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CAPITOLO SESTO 
§ xv. 
I complessi P f , . . . P M aventi la medesima superfìcie fondamentale. 
28. Dalo un complesso bilineare di coniche r affatto arbitrario, si é visto che 
nel complesso di rette K che risulta determinato col complesso r, esistono 15 si- 
stemi X, , . . . X 1S di schiere rigale, costituiti rispettivamente dalle schiere rigate coor- 
dinale alle rette che passano per i punti fondamentali U, , . . . U 1S (n.° 15). 
Di una qualsiasi schiera p del sistema X, la direttrice r e la generatrice r che 
escono dal punlo U, , sono rispettivamente la retta a cui è coordinata la p, e la retta 
omologa alla precedente nella omografia caratteristica H, che si ha nella stella (U t ), 
sicché la schiera p è univocamente determinala quando ne sia data ad arbitrio nella 
stella (UJ la direttrice r o la generatrice r. 
E la corrispondenza biunivoca che intercede fra i raggi del complesso K ed 
i punti dello spazio, può costruirsi mediante il sistema X, , pel fatto che un raggio 
generico o del complesso che appartenga alla schiera p del sistema, è coordinato 
al punto d'incontro con la direttrice r' della p che passa pel punto U ì . 
La proprietà caratteristica di una direttrice di una schiera p si è che la super- 
ficie 9, del complesso r dovuta a tale retta contiene un raggio r della stella (U,). 
Perciò le schiere p incidenti alle schiere p costituiscono un complesso di rette K, 
caratterizzato dalla proprietà innanzi detta. 
Questo complesso K, può essere riferito allo spazio di punti mediante il sistema 
X' t delle schiere p, in maniera analoga a quella con la quale il complesso K é ri- 
ferito allo stesso spazio mediante il sistema X 4 delle schiere p. Basta cioè assumere 
come omologo di un raggio generico o del complesso K t che sia sulla schiera p del 
sistema X', , il suo punlo d'incontro con la direttrice r della p che passa pel punto U 1 . 
La corrispondenza che con ciò viene ad aversi fra i raggi del complesso ed i 
punti dello spazio, è biunivoca e prospettiva. Essa è ligala alla corrispondenza ana- 
loga che si ha pel complesso K , per la proprietà che due raggi o , o dei due com- 
plessi che appartengano a schiere rigale incidenti dei sistemi X t , X', , sono coor- 
dinati a due punti situali su due raggi della stella (UJ omologhi nell'omografia 
caratteristica H, . 
Ora in un piano generico w (o in una stella generica 0) dello spazio ad ogni 
raggio o del complesso K si associa un raggio d del complesso K, , e viceversa, in 
modo che due raggi associali appartengono a due schiere incidenti dei sistemi 
X,,X t . Perciò le curve c , c coordinate ai due inviluppi di raggi dei complessi 
K , K, situali nel piano <o (o le curve g , g coordinate ai coni dei complessi K , K t 
che hanno il vertice nel punto 0) vengono proiellate dal punlo U, secondo due 
coni omologhi nella omografia H, . 
o o 1 
Ne segue che la curva c è di ordine 2 come la c; e la linea g che al pari 
della g ha un punlo semplice nel punto U, , è di 7° ordine e di genere 5, come 
la g. 
