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Col variare del piano co e del putito 0 nello spazio, le due linee c\ g descri- 
vono rispettivamente due complessi P, , V\ che si comportano fra di loro e rispetto 
al complesso K l nello stesso modo col quale i complessi r , r, descritti dalle linee 
c , g , si comportano fra di loro e rispetto al complesso K. 
In particolare il complesso r t risulta bilineare; e propriamente le coniche del 
complesso che passano per un punto generico P' dello spazio, sono nei piani del 
fascio che ha per asse il raggio o' del complesso K, coordinato al punto P. 
29. Le coniche dei complessi r , r t che sono in un medesimo piano generico 
dello spazio, trovandosi su due coni omologhi nella omografia H, , risultano pro- 
iettivamente della slessa natura: una di esse cioè è degenere, se è degenere l'altra. 
Perciò i complessi T , r i hanno la medesima superficie fondamentale. 
Il punto U t è fondamentale per entrambi i complessi. Inolile i. restanti punti 
fondamentali del complesso r t sono i punti tripli U i; della superficie fondamentale, 
associati nel complesso r alle rette che da U, proiettano gli altri punti fondamentali 
U, di r : e viceversa questi punti U L sono associati nel complesso I\ alle rette che 
da U t proiettano gli altri punti fondamentali U ){ di I\ . 
Infatti la relazione che intercede fra la retta che unisce i punti fondamentali 
U, , Uj del complesso r, e il punto U„ associalo in tale complesso all'anzidetta con- 
giungente (per / = 2,...15), consiste in questo che in ogni piano w della stella 
(U u ) la conica del complesso r si appoggia alla U.U^ (n.° 11). A questa retta nella 
omografia H, corrisponde il raggio \] i U li (n.° 15), e però nel piano w la conica del 
complesso l\ passa pel punto U u , sicché questo punto è fondamentale per I\ . 
Viceversa in un qualunque piano w della stella (U,) la conica del complesso r 
passa pel punto U, , e però nello stesso piano la conica del complesso I\ si ap- 
poggia alla retta U.U,, omologa nella omografia H, alla U,Uj , sicché nel complesso l\ 
alla retta che unisce i punti fondamentali U t , U,j è associato il punto U £ . E ne 
segue il teorema. 
Infine per ogni altro punto triplo U (m della superficie fondamentale si ha che 
le curve dei complessi F',1?, che hanno il polo inalale punto, sono proiellate dal 
punto U, secondo due coni omologhi nella omografia H, ; e siccome la prima linea 
si spezza in una curva di 6° ordine che passa per U, , e nella retta U ( U m , cosi la 
seconda si spezza del pari in una curva di 6° ordine che passa per U, , ed in una 
retta situala nel piano U t U i; U lm omologo nella H, del piano UJJjU,,, . La iella in 
discorso deve unire due punti fondamentali del complesso l\ diversi da U, , e però 
risulta la U u U 1m . Perciò nel complesso r, al punto U lm (per lz£ w = 2 , . . . 15; è 
associala la retta U 1( U lm . 
Tulli i risultali ottenuti provano che nel punto U, i complessi r , T t si com- 
portano l'uno rispetto all'altro nel medesimo modo. Essi si diranno coniugati nel 
punto U, . 
Ripetendo per gli altri punti fondamentali del complesso r quel che si è dello 
pel punto U t , si hanno in tutto /5 complessi btlineari di coniche r. che hanno lutti 
la medesima superficie fondamentale del complesso V. 
E ad ogni complesso V. si associano con le note relazioni un complesso di 
ielle K', ed un complesso di curve di 7° ordine T'. . 
Ora occorre ripetere pel complesso r quel che si è dello pel complesso r. 
