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CAPITOLO SETTIMO 
§ XVI. 
I complessi bilinèari di coniche dotati di linee direttrici. 
30. Un complesso bilineare di coniche r può presentare una linea direttrice: 
può accadere cioè, in casi particolari, che esista una linea c di ordine x, irridu- 
cibile o costiluila da due o più linee algebriche, che sia incontrala in x punti da 
ogni conica del complesso r. 
Se questo fallo si verifica, una qualsiasi curva o 1 del complesso r' che abbia 
il polo in un punto generico 0 dello spazio, si spezza nella c x ed in una curva o 
che passa semplicemente per 0; e corrispondentemente il cono del complesso K 
che ha il vertice nel punto 0, si scinde nei due coni che proiettano la c x e la o. 
Perciò, non tenendo conto della linea c x , il complesso r' risulla costituito da 
linee di ordine 7 — x\ e cosi, non tenendo conio del complesso speciale costituito 
dalle seganti della c x , il complesso K risulta di grado »==6 — x. Ne segue che x^5. 
Ora l'esistenza del complesso r soddisfacente alla condizione indicata, dipende 
dalla esistenza di una rete di superficie di 3° ordine che abbia per base la linea 
c x ed una conica c ì appoggiata in x punti alla c x , e che non presenti altri elementi 
base nel piano della c s . 
Perciò riesce agevole determinare i vari casi possibili. 
Ricorrendo all'uopo alla rappresentazione piana di una superficie 9, del com- 
plesso, e supponendo che i punti base del sistema rappresenlalivo siano i punti 
P t , . . . P 6 e che la retta a cui è dovuta la superficie, abbia per immagine il punto 
P 6 , le linee c',o', immagini della linea direttrice c x e di una curva 0 della super- 
ficie, prese assieme costituiscono una linea c' 6 ^[? t . .-. . P 5 )*.P, 1 il punto P 6 si Irova 
sulla linea 0, e queste linee 0 cosliluiscono un fascio. 
Sono queste soltanto le condizioni che debbono verificarsi per V esistenza del 
complesso, sicché riesce facile determinare i vari casi possibili. 
In ogni caso la rappresentazione della superficie <p 3 fornisce immediatamente il 
genere delle curve 0, il numero dei punti fondamentali del complesso, che sono i 
punii comuni a due curve 0, ed il numero dei punti di appoggio della 0 alla 
linea c . 
x 
Un punto 0 della linea c x è punlo semplice di tulle le superficie <p 3 dei com- 
plessi r,r', e però è coordinalo ai raggi di un fascio (0 — w) del complesso K. 
Questo fascio fa parie del cono di raggi del complesso di vertice 0; e se il grado n 
del complesso è maggiore di 1 , l' ulteriore parte è il cono proiettante la curva 0 
dovuta al punto 0. Questo è doppio per la 0, e le tangenti sono nel piano o>. 
Ad una retta che si appoggi in un punto 0 in due punii alla c xì corrisponde 
nel complesso K una schiera rigala od un fascio; mentre una Irisecante t della c x 
appartiene al complesso K ed è coordinala ad ogni suo punlo. Quest'ultima pro- 
prietà è conseguenza del fallo che in ogni piano w «lei fascio (/) la conica del 
