complesso r è degenere e contiene la t, sicché qualunque sia il punto 0 sulla t, 
le coniche del complesso che passano pel paolo 0, sono le coniche innanzi dette 
situate nei piani del fascio (0- 
Da ciò che si è detto, segue anche che la rigata a delle trisecanti della c x , 
se esiste, riguardata come superficie inviluppo, fa parte della superfìcie fondamen- 
tale 3 del complesso. 
La congruenza A dei raggi doppi del complesso K esiste se il grado ti del 
complesso è maggiore di 2 , e risulla di classe — — — — e di ordine 
— — — — — Pi se p é il genere di una curva o. Ogni punto fondamentale U 
è vertice di un cono di ordine n — 2 della congruenza. 
Un raggio r della A forma una conica del complesso r con una retta r ap- 
poggiata alla linea direttrice c x in x punti. 
Infine per la genesi del complesso r occorre la seguente osservazione. 
Fissale due coniche c s . c\ del complesso, due quadriche = e, ,<?', = c', che 
corrispondano ai piani delle due curve in un medesimo sistema generatore, o se- 
gano la c xì fuori delle c, ,c\ , nello slesso gruppo di x punti, o contengono entrambe 
la c x . Perciò un sistema generatore del complesso P o ha x punti base sulla linea 
c x , o ha per base questa linea. Nel primo caso le quadriche del sistema segano 
la c x in gruppi di x punti variabili situati su i corrispondenti piani dello spazio. 
31. Ciò posto, per un complesso bilineare di coniche dotato di linee direttrici 
sono possibili i seguenti casi: 
1. ° La linea direttrice e una retta c. (c ~ c' a =P, ... P 5 , o - c\=P t ... ? t , 10U) *). 
Le curve o sono di 6° ordine e di genere 3, hanno 10 punti comuni U, , ... U 1(> 
e si appoggiano alla c ciascuna in 3 punti. 
Il complesso K è di 5° grado; la congruenza A è di classe 6 e di ordine 3 ; 
la superGcie fondamentale è una superficie unica di 5 a classe. 
La direttrice c e tre punti fondamentali U sono base di un sistema generatore 
del complesso r. 
2. ° La linea direttrice è una conica c t . (c t -* c ,= P,... P 5 , o-^sP^P, .. P 6 .7fJ). 
Le curve o sono di 5° ordine e di genere 2, Danno 7 punti comuni [] l , ... U 7 e 
si appoggiano alla c, ciascuna in 4 punti. Il complesso K è di 4° grado. 
La direttrice c t ed un punto fondamentale U sono base di un sistema gene- 
ratore del complesso r. Nella corrispondente omografia fl alle quadriche degeneri 
del sistema, costituite ciascuna dal piano <o della c s e da un piano ir della stella (U), 
corrispondono i piani ri di una stella (0) omografica a quella dei piani it. In un 
piano w la conica del complesso r si spezza nella reità r — ton, corda della c, , 
ed in un raggio r' — r.r:' della congruenza A. Questa perciò è la congruenza gene- 
rata dalle due stelle di raggi omografiche (U) , (0). 
La cubica gobba direttrice della congruenza passa pel punto 0 e per i punii 
tr t , . . . u 7 . 
*) Con questa scrittura si indica che nella rappresentazione di una superficie <p s del complesso 
le linee c.o hanno per immagini le curve c' t ,c\. 
Atti — Voi. XV— Serie 2* — N. 8. <> 
