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Le rette doppie della <p 4 sono le corde uscenti dal punto U della linea diret- 
trice c 4 . Esse costituiscono la curva o 3 dovuta al punto U. 
In un piano generico w della stella (U) la conica c ì del complesso r è coor- 
dinata al fascio di raggi (0 — w) del complesso K che non appartiene alla stella' 
(U) , sicché la c, sega la superfìcie <p t , oltre che nel punto U e nei 4 punti di 
appoggio alla c 4 , nel centro 0 dell'anzidetto fascio. 
Viceversa se si parte da una superficie di Steiner <p 4 = U\3o 2 e su questa 
si assume una curva gobba c 4 , le coniche c 2 che passano pel punto U e si ap- 
poggiano alla c x in 4 punti costituiscono una congruenza bi lineare *). Ogni conica 
c t sega la superficie q\ , fuori del punto 0 e della c k , in un solo punto 0, sicché 
facendo corrispondere al piano co della c 2 il raggio UO, ne risulta una reciprocità 
birazionale nulla nella stella (U). 
E siccome in questa corrispondenza sono fondamentali le Ite rette doppie o 
della superficie <p t , perciò il fascio di raggi (0 — w), col variare del piano co nella 
stella (U), descrive un complesso di 2° grado che contiene la stella di raggi (U) 
ed ha per superficie fondamentale la ? 4 . E se ai singoli ra^gi del fascio (0 — w) si 
fanno corrispondere i loro punti variabili di sezione con la c 2 , la corrispondenza che 
ne risulta fra i raggi del complesso ed i punti dello spazio, è del tipo in esame **). 
*) Vegg. Mem. cit. Su i vari tipi di congruenze bilineari di coniche, pag. 157. 
**) Con costruzione affatto analoga alla precedente può determinarsi una notevole corrispon- 
denza biunivoca e prospettiva ira i raggi del complesso K e le coppie di punti di un'involuzione J 
dello spazio. 
Basta partire da una superficie di Steiner <p 4 = U s , 3o 2 e costruire su questa una curva 
di genere 3, che contenga gli 8 punti di sezione della cp 4 con una conica c } assunta ad arbitrio 
nello spazio. 
La c g è segata in 4 punti da ciascuna delle tre rette doppie o della superficie , e però essa 
con le tre rette o e con la conica c % costituisce la base di una rete di superficie di 4° ordine 
aventi in comune il punto doppio TJ. 
Le linee basi variabili dei t'asci di questa rete sono cubiche piane c 3 che passano pel punto TJ 
e si appoggiano in 8 punti alla c 8 ed in 2 punti alla c ì . Esse costituiscono una congruenza bi- 
lineare ; e propriamente le linee c 3 che sono nei piani di un fascio generico (r) della stella (U), 
costituiscono una superficie y k della rete; e questa superficie, col variare della retta r nella stella 
(TJ), varia nella rete omograficamente alla retta. 
Ogni linea c 3 della congruenza sega la superficie cp 4 , fuori del punto TJ e della c 8 , in un solo 
punto 0 diguisachè facendo corrispondere al piano co della c. il raggio TJO, ne risulta una reci- 
procità birazionale nulla nella stella (TJ). 
Nella corrispondenza sono fondamentali le rette doppie o della cp, , e però il fascio di raggi 
(0 — co), col variare del piano co nella stella (TJ), descrive un complesso di 2° grado che contiene 
la stella di raggi (TJ). E se ai singoli raggi del fascio (0 — co) si fanno corrispondere le coppie di 
punti in cui essi segano, oltre che in 0, la c 3 , ne risulta una corrispondenza prospettiva (1,2) 
fra i raggi del complesso ed i punti dello spazio, del tipo indicato. 
Le due corrispondenze ora stabilite sono da aggiungere a quelle esaminate nella mia Memo- 
ria: Su le trasformazioni univoche dello spazio che determinano complessi quadratici di rette (Rendiconti 
del R. Istituto lombardo, Serie II, voi. XXV, Maggio 1892), sopprimendo il ragionamento fatto 
a pag. 800 e 801 che non vale pel caso più generale, e la conclusione relativa. 
Le due corrispondenze in discorso, dopo la pubblicazione dell'anzidetta mia Memoria, furono 
ottenute con considerazioni iperspaziaJU da Pieri (Sulle trasformazioni involutoric dello spazio deter- 
minale da un complesso Hirstiano di rette. Rendiconti del R. Istituto Lombardo, Serie li, voi. XXV, 
Luglio 1892). 
