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§ XVIII. 
I complessi bilineari di coniche dotati di punti singolari. 
34. Un punto fondamentale U di un complesso bilineare di coniche è singo- 
lare se in ogni piano della stella (U) la conica del complesso si spezzi in due relte 
che si seghino nel punto U. 
Questo fatto si verifica quando in un sistema 2 generatore del complesso ogni 
quadrica della rete R 0 che ha un punlo base nel punto U, risulti tangente in questo 
punto al piano corrispondente della stella (U). 
In tale caso la stella di piani (U) fa parte dell'inviluppo fondamentale del com- 
plesso r. 
Inoltre la rete delle superlìcie <p 3 del complesso dovute alle singole rette della 
stella (U), è costituita dai coni di 3° ordine che passano pei 7 raggi r is ...r, 
che dal punlo U proiettano gli altri 7 punti base della rete R 0 , sicché due raggi 
della stella che costituiscano una conica del complesso, sono coniugati nella invo- 
luzione di classe 1 che ammette per coni uniti i coni dell'anzidetta rete. 
I raggi base r t , . . . r. formano la linea c. che ha il polo nel punlo U, e 
però gli altri 14 punii fondamentali U n U' t . (per i= 1 , ... 7) sono i punti in cui le 
r t , . r, segano, oltre che nel punto U, un'altra qualsiasi superficie <p s del complesso. 
La curva c. del complesso r' che ha il polo in un punto generico 0 dello 
spazio, si trova sul cono x 3 dovuto al raggio OU, e però questo raggio è doppio 
pel cono che proietta la curva dal punto 0. 
Ne segue che i raggi della stella (U) sono doppi pel complesso K, sicché l'or- 
dine della restante congruenza A si riduce a 4. 
Con considerazioni analoghe alle precedenti si determinano i complessi r, che 
presentano 2, 3, 5 o oc 1 punti singolari. 
l.° Partendo da un fascio 4> di coni di 2° ordine che abbiano in comune il 
vertice 0 e le generatrici s , s t , s t , s 3 , si assumano due reti di quadriche R , R' che 
contengano entrambe il fascio <f>, senza presentare ulteriori particolarità. 
Le due reti appartengono ad un medesimo sistema lineare co 3 2. Ognuna di 
esse ha due punti base su ciascuna delle relte 
Assumendo sulla s un punto base U della R ed un punto base U' della R', 
resta determinata un 1 omografia ft fra le quadriche del sistema 2 ed i piani dello 
spazio, nella quale le reti R , R' hanno per omologhe le stelle (U),(U), in modo 
che ogni quadrica dell'una o dell'altra rete risulta tangente al piano omologo. 
II complesso T generato dall'anzidetta omografia O, ha i punti singolari U,U. 
Viceversa ogni complesso r dotalo di 2 punti singolari ha la genesi ora in- 
dicata. 
Le linee del complesso r' che hanno i poli nei punti U , U . sono costituite 
l'una dalle rette s , u. , tv , l'altra dalle rette s , u . , v\ (per 1 = 1,2,3) che dai 
punti U , U' proiettano rispettivamente i restanti punti base delle reti R , R'. 
Le due coppie u.v. appartengono al piano a t =ss t e però si segano in 
4 punii fondamentali U,. . 
