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Ciò prova che il complesso r è completamente determinato dalle tre coppie dr 
piani a x <s\ , op\ , op\ uscenti dalle rette s it s it s 3 del piano a e dal punto U 0 di 
tale piano non situato sulle rette s. 
3. ° Se il punto U 0 si assume sulla retta o che unisce i due punti base 
U» = <W* 3 , U 5 ss della rete R, il complesso r acquista altri due punti sin- 
golari nei predetti punti U 4 , U s . 
Infatti l'omologia armonica dello spazio che ha il piano fondamentale a ed il 
centro nel punto 0, coniugalo armonico del punto U 0 = oa rispetto ai punti U 4 , IL 
muta in sé stessa ognuna delle tre coppie di piani a t a\ , (j t o' i , ar' 3 cr' s , e però tra- 
sforma la rete R in sè stessa; onde gli 8 punti base della rete si distribuiscono in 
coppie situate su 4 rette della stella (0), e queste rette costituiscono il gruppo base di 
un fascio di coni di 2° ordine appartenente alla rete. Una delle 4 rette è la o = U V U 5 . 
Rispetto ad ogni quadrica <p 2 della rete il punto 0 è polo del piano a; e se 
alla <p, si fa corrispondere la retta r del piano o comune ai piani tangenti alla <p 4 
nei punti U 4 , IL , l'omografia che ne risulla fra la rete R ed il piano rigalo (a), 
coincide con l' omografìa n generatrice del complesso, perchè in entrambe alle 
quadriche degeneri , a 2 a' a , a 3 a' 3 ed al fascio di quadriche che passano pel punto 
U 0 , le quali risultano essere i coni innanzi detti, corrispondono le rette s t , s 2 , s 3 ed 
i raggi del fascio (U 0 ). Perciò le coniche del complesso r situate nei singoli piani 
U t r,U 5 r delle stelle (UJ , (U 5 ) si spezzano in coppie di raggi di queste stelle, sicché 
i punti U 4 , U. sono singolari pel complesso. 
Viceversa se un complesso r che abbia i punti singolari \J i , U ì , U 3 , acquista 
un altro punto singolare U 4 , esso avrà ancora un quinto punto singolare U 5 , e 
sarà del tipo ora costruito. 
Il complesso è del lutto individuato dai 5 punti singolari U t , . . . U 5 dati in 
posizione generica nello spazio. Gli altri suoi punti fondamentali sono le sezioni di 
ogni retla che unisce due dei predetti punti col piano che passa per i restanti tre 
punti. Questi piani sono singolari pel complesso. 
Inoltre in ogni stella singolare (IL) l'involuzione costituita dalle coppie di rette 
che formano coniche del complesso, é l' involuzione di 2° ordine e di l a classe che 
ammelle per raggi uniti i 4 raggi che da U ( proiettano i restanti punti singolari. 
Perciò il complesso in esame è il complesso di Humbert dovulo al penta- 
gono gobbo completo U, . . . U 5 *). 
4. ° In un complesso bilineare di coniche possono risultare singolari tulli i 
punti di una retla s, può accadere cioè che in qualsiasi piano generico w dello 
spazio la conica del complesso si scinda in due rette u , u segantisi sulla s. 
In tale caso le superficie del complesso dovute alle rette del piano od sono su- 
perficie gobbe di 3° ordine aventi a comune la direttrice doppia s e le due ge- 
neratrici u , u, sicché nella rete che esse costituiscono, vi è una superfìcie dege- 
nere che si spezza nei piani su ,su ed in un piano n che contiene i Ire punti base 
U, , U t , U 3 della rete. 
*) Sur un complexe remarquable de coniques Journal de l' Ecole Poìytechnique, Cahier 
LXIV, 1894. 
Atti — Voi. XV — Serie 2" — N. 8. " 
