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CAPITOLO OTTAVO 
§ XIX. 
Le involuzioni dello spazio collegate ad un complesso bilineare di coniche. 
35. Le proprietà fondameiilali stabilite nello spazio pei complessi bilineari di 
coniche si estendono assai agevolmente ai complessi bilineari di curve piane di or- 
dine arbitrario. 
Qui basterà notare che dato nello spazio un complesso bilineare T n , per ogni 
punto generico 0 resta determinato un raggio o uscente da 0, comune ai piani so- 
stegni delle curve c n del complesso che passano pel punto 0. Col variare di questo 
punto nello spazio, il raggio o descrive un complesso K il quale in generale dajla 
genesi ora indicala risulta riferito con corrispondenza biunivoca e prospettiva allo 
spazio di punti. 
Non è escluso però che in casi particolari la corrispondenza in discorso sia una 
corrispondenza |l,m|, non è escluso cioè che in casi particolari le curve c n del 
complesso uscenti da un punto generico O l abbiano tulle in comune altri m — 1 
punti O s , . . . O m situati col punto 0 4 su ili un medesimo raggio o del complesso 
K, per nl> m> 1. 
Viceversa se un complesso di rette è riferito con corrispondenza prospettiva 
allo spazio di punti in modo che ad ogni raggio generico o del complesso corri- 
spondano m suoi punti 0, , . . . 0 OT , per m>l, mentre un qualunque punto gene- 
rico O t . dello spazio risuiti l'omologo di un solo raggio o del complesso, le linee c 
di ordine n^im omologhe in siffatta corrispondenza degli inviluppi di raggi del 
complesso situali nei singoli piani dello spazio costituiscono un complesso bili- 
neare T n . 
Perciò nello spazio la teoria dei complessi bilineari di cune piane di ordine ar- 
bitrario n , coincide con la teoria dei complessi di rette riferibili con corrispondenza 
prospettiva allo spazio di punti. 
Questa teoria può essere stabilita con procedimenti affatto analoghi a quelli tenuti 
pel caso di n = 2. 
Intanto per i risultali già ottenuti possono ritenersi noli tutti i tipi di complessi 
di rette riferibili con corrispondenza prospettiva allo spazio di punti, in modo che le 
curve omologhe degli inviluppi piani del complesso siano di 2° ordine. 
Per tulli questi complessi è i»=l, escluso soltanto il caso indicato nel numero 
33, 5°, nel quale il complesso K è costituito dulie seganti di una reità fissa s, e la 
corrispondenza |1,2| che lo liga allo spazio di punti, è ottenuta riferendo pro- 
iettivamente la punteggiala (s) ad un fascio di quadrichc, e riguardando omologhi 
di un qualunque raggio del complesso, che incontri la s nel punto P, i due punti 
in cui esso sega la quadrica del fascio omologa del punto P. 
Pel caso più semplice di »==1, si ha il teorema che: L'unico complesso di 
rette non singolare che sia riferibile con corrispondenza biunivoca e prospettiva allo 
