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L'equazione (101) ha una forma caratteristica ; per s = 0 essa si riduce natu- 
ralmente a quella calcolala da Seri bauli; inoltre ponendo 
, 1 dx 
la (101) può scriversi : 
ry' — s ^ i , rx + s \ 
(102) y + — u = Q ( ^ + - ) , 
ed appare subito una analogia fra la formazione del primo membro e quella del- 
l'argomento di Q. 
Mutando seguo ad s (il che significa mutar segno alla deviazione del piano 
della rotella), e indicando con P la funzione inversa di Q , cioè supposto che da 
(98) si deduca 
x i = P(y i ) , 
da (101) si ha: 
rx' — s / , r 4 sx' \ 
103 a? 4- — = P ( y H ) 
che è dello stesso tipo della (101) stessa, solo che si è scambialo x con y. 
Se P = Q, cioè se la equazione (98) è simmetrica in x e y, la (103) coincide 
colla .101), salvo lo scambio di x con y, cioè in tal caso le curve integrali otte- 
nute con un angolo di deviazione a , sono le simmetriche, rispetto alla bisettrice 
dell'angolo degli assi, di quelle ottenute colPangolo di deviazione contraria — a. 
Poiché è arbitraria la posizione degli assi coordinati (a differenza dell'integrafo a 
riga rettilinea e degli altri integrati), lo slesso deve verificarsi non solo per una curva 
di equazione (98) che sia simmetrica in x e y , ma anche per una che, con un can- 
giamento di assi, possa ridursi ad essere tale. 
Dalla arbitrarietà della posizione degli assi coordinali, deriva una importante 
proprietà della equazione (101), ed è che questa conserva la medesima forma con 
una qualunque trasformazione delle coordinate ortogonali, come del resto può age- 
volmente verificarsi sull'equazione stessa, perchè con una rotazione degli assi 
x = X cos a) — Y sen o> 
y = X sento 4- Y costo 
la (101) diventa: 
/ rY' — s / r-\-sY' \ 
I 1 4 : costo + / \ z=== ) seuto = 
= (jf-f Y4- r Y '~* \wb« + /x+ r + ' SY postai 
L V J/14-Y"/ V KfTY*' J 
dalla quale si ha appunto : 
Y 4 ^-===L = fan*. (X4 \ • 
