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ticolo Ueber die Bestimmuug der Auzahl dei' Primzahlen bis zu eine^* 
gegebeneu Zahl N, mit Helfe der Prirazahleu, welcbe kleiuer als l'^N 
sind. Zcitschrift fur JIat he mitili luid Phijsik. Voi. XL, p. 118, 1895, non propone 
in sostanza, sotto forma non preferibile, cbe il procedimento di Leg.3ndre qui esposta 
nel § 7. 
Maggiore originalità si riscontra nello scritto: 
Graefe — Bestimmung der Anzabl iinter einer gegebeuen Zahl ài 
liegenden Primzahlen, wenu die untar K?/?, 1 legende n Primzahlen be- 
kannt sind. Zeitschrift fiir 2Iath. Ph. Voi. XXXIX, p. 38, 1894. 
In fondo, sebbene non lo si dica esplicitamente , la formola fondamentale di 
Legendre è quella che campeggia ; ma è combinata colla osservazione che i nu- 
meri primi, eccetto 2 e 3, appartengono all'una o all'altra delle due forme 6« + 1, 
&n + 5. Per mezzo di tale combinazione il Graefe immagina delle tavole , me- 
diante le quali i varii termini della formola di Legendre possono senza molto la- 
voro calcolarsi, e le costruisce fino ad 10000. 
IO. Procedimento di Meissel. — Un progresso notevole segna nell' indirizzo, 
che ora sto esaminando, la memoria 
Meissel — Berechnung der Menge der Primzahlen innerhalb gege- 
beneu Grenze. Mathemaiischc Aiinalen, t. II, p. 636; t. Ili, p. 523; t, XXI, p. 302 ; 
t. XXV, p. 251, 1871-85. 
In questa l'autore comincia dallo stabilire una formola in ispecial modo adatta 
alla calcolazione in cifre, e poi l'applica a varii esempii. Indicando da ora in poi 
con V ìi'^° numero primo, quindi ponendo 
P, = 2 , 1= 3 , = 5 , = 7 , — 1 1 , = 13 , P7 = 17 , jjg = 19 , . . . 
si denoti con ^[m ,n) il valore, che acquista l'espressione (3), supponendo, quale 
che sia i , q. —l\ ; cioè si ritenga 
Per la funzione «^ sassiste, analog*amente a quanto già dissi per la funzione 
T dei § 7, una formola di ridazione facilmente verificabile per mezzodì (6), cioè 
E — , w — 1 j . 
Denoto inoltre con un intero compreso fra ^[m] e potendo, raggiun- 
gere questi limiti. Allora <ì>(;yi , jìJ , esprimendo la totalità dei numeri della suc- 
cessione 1,2,3,..., non divisibili per , . . . , j^^, , equivale alla totalità dei 
numeri 
cioè a 5r(m) — », + 1. Dunque: 
A TTi — Voi XI - Serie 2"— N " 1 i 
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