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Il procedimento si presta ad essere esteso ancora , cosa che il Rogel fa ; ma 
io qui m'arresto, limitandomi ad applicare la (10) al solito esempio 2r(500). 
Si Ila 
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à(J/500) = 4 , ^(Vò00) = 2; 
laonde 
^(500) = <l) (500,2) — [^(100) + :^(71) -f- ^(45) + ^(38) -i- S(29) -f ^y(26) ] 
— [^(20) + ^(14) -f ^(10) ] -f 36 
= 167 — (25 + 20 + 14 + 12 + 10 + 9) — (8 + 6 + 4) -f 36 = 95 . 
La medesima ricerca è pure riprodotta da Rogel in altro suo lavoro, però con 
una soggiunta, che meglio si riattacca coll'argomento del Gap. XII : ecco perchè 
io parlerò di tale scritto nel § 122. 
14. Parziale priorità di Hargreave. — Ma senza nulla detrarre al merito di 
Meissel e Rogel , non può tacersi che il loro metodo non è interamente nuovo, es- 
sendo essi stati prevenuti, in parte, dal giurista matematico Hargreave, il quale 
fin dal 1854 nella sua memoria On the Law of Prime Numbers, 77ie Pki- 
losophical Magazine and Journal of Science, 4:^ serie, voi. Vili, p. 114, espone un 
procedimento, forse più intuito che dimostrato, il quale tradotto in formole dà luogo 
proprio alle (9) e (10) ed analoghe. Soltanto Hargreave non determina esattamente 
i limiti, frai quali possono scegliersi i numeri qui dinotati con n^ , n^, . .. ; e crede 
che essi possano assumersi in ogni caso eguali a 8 o 9, o, se è il bisogno, a 10 
0 11. Egli applica il procedimento colla formola, che immediatamente seguirebbe 
la (10), e trova 
^(1000 000)= 78 494 
Sr(5 000 000) = 348 527 
5(10 000 000) = 664 632 . 
In tali casi la limitazione risultante dal ragionamento sopra indicato darebbe 
rispettivamente 
il>"4^6 , 15>«,^8 , 16>H,>9. 
11 valore = 9 scelto da Hargreave soddisfa a queste ineguaglianze, dunque 
non sono da attribuirsi a questa causa le lievi differenze trai valori trovati da 
Meissel e Hargreave. 
CAPITOLO III. 
15. Primi tentativi per costruire la funzione 6(^) esprimente la totalità dei 
numeri primi inferiori ad senza bisogno della conoscenza dei numeri primi. 
Formola di Legendre. — La terza via indicata nel (1,1) è, senza dubio, la più im- 
portante ; ma nel percorrerla si sono trovate tante difficoltà che più d'un valente du- 
bitò che, coi mezzi, a disposizione dell'Analisi, si fosse potuto raggiungere la meta. 
Come ho detto nel citato §, nel fare i primi passi per detta via si prese per 
guida l'esperienza. 
