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questa deviazione è superiore a quella 
log: .r— 1.08360 ^ 
— — . 100 000 
del risultato corrispondente secondo la formolà di Legendre; ma per ^ = 5 000 000 
la prima è diventata inferiore alla seconda, e tale si mantiene per tutta la rima- 
nente estensione della tabella. Ma è poi definitivo il vantaggio offerto dal valore 
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logo: 
Tchebiclief, nella memoria qui sotto esaminata nel (Gap. IV, § 21 a 23) con- 
sidera la differenza — • — / — ^ , e trova che da = 1 247 646 , . . . fino 
Ioga;— 1,08366 ,/ Ioga;' 
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ad x=.co , essa è sempre crescente , perciò si deduce che a partire dal valore di 
a: compreso fra 4 800 000 e 5 000 000, pel quale essa si annulla, resterà sempre 
positiva, sicché sarà 
loga.-\o8366 -^^^^>/ l"^ " ^^^"^ ' 
2 
Null'altro questo ci autorizza a concfiiudere che dal predetto valore di x in 
poi, e fino a quando il secondo membro della diseguaglianza resterà positivo la 
formola di Legendre darà un risultato più lontano dal vero di quella di Gauss. 
Non risulta da quanto precede che la medesima conchiusione permarrebbe, se il detto 
secondo membro diventasse negativo. La quistione se il valore fornito da Gauss 
meriti la preferenza su quello esibito da Legendre, rimasta lungamente sospesa, 
non è stata risoluta che recentissimamente a favore del primo, mercè un teorema 
generale di de la Vallèe Poussin, del quale in seguito sarà discorso (cfr, X, 90) , 
sicché il vantaggio della formola di Gauss, se già non lo é, dovrà finire per di- 
ventare permanente. Onde formarsi una idea più chiara del modo di comportarsi 
reciprocamente delle due formole (11) e (13) giova l'ispezione del diagramma, che 
segue la tabella, del quale più sotto (V, 38) parlerò. 
18. Ricerche di Lejeune Dirichlet. — Ma mentre Gauss pensava a rispon- 
dere alla quistione con metodo empirico, altri tentavano di risolverla col puro ra- 
ziocinio. Lejeune Dirichlet ueirarticolo : 
Sur l'usage des séries infinies da"ns la théorie des nombres. Creile 
Journal fiir di'' r. n. a. J/, voi. XVIII, p. 257, 1838 
annunzia che in una memoria da lui letta nel febbrajo di quell'anno all' Acca- 
demia di Berlino, egli, come applicazione dei principii esposti per determinare le 
espressioni limiti dei valori medii di certe funzioni , avea dimostrata la formola 
di Legendre. 
Però della memoria, data come letta in Accademia, non si trova che una breve 
notizia nei Monatsberichle der Berlin. Akad. , dove non vi è traccia dell' annun- 
ciata dimostrazione. Nulladimeno a p. 372 del Voi. I delle Opere di Lejeuxe Diri- 
chlet, nella riproduzione dellarticolo citato sopra, si trova la seguente nota: 
