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dove la prima somma è estesa a tutti i numeri interi , e la secondo a tutti i nu 
meri primi, e richiamato dal lavoro precedente clie y,—r^ — è la somma dei reci- 
proci di una serie di numeri , che chiama numeri primi teoretici , ciascuno dei 
quali è eguale al precedente aumentato del logaritmo di questo, procede colla se- 
guente molto discutibile argomentazione: 
« Poiché assegnato un valor conveniente al numero primo teoretico iniziale, si 
può asserire che la somma degF inversi dei numeri primi teoretici è eguale alla 
somma degl' inversi dei numeri primi effettivi, si potrà conchiudere che per questi 
la distanza attendibile fra due di essi al punto ^ è log.r». 
20. Nota di Giaisher. — Passati poco meno che quaranfanui, durante i quali, 
come si vedrà, molto cammino si è fatto con metodi di ragionamento ben più cor- 
retti , è comparso un articolo, che si ricongiunge ai precedenti, cioè 
Glaisher — Note on the Law of Frequencv of prime Numbers. 2%e 
Messenger of Maihematks. New series. Voi. XXIII, p. 97, 1893. 
In esso l'autore si dichiara convinto che il problema è di natura sì intricata, 
che è veramente difficoltoso il dedurre una investigazione sufficientemente soddis- 
facente della legg*e di frequenza, mediante un ragionamento generale, con consi- 
derazioni elementari. Nulladimeno gli sembra interessante di registrare la sua, che 
conduce alla legge logjc, o aduna equazione funzionale soddisfatta da log;2?. Ma 
varie pecche di ragionamento rendono molto scarso il valore delle argomentazioni 
dell'autore. 
CAPITOLO IV. 
21. Prima memoria di Tchebichef. I primi risultati di essa contradicono olla 
formola di Legendre. — Per la determinazione della funzione O(^) le ricerche se- 
riamente razionali furono inaugurate dalla memoria 
Tchebichef — Sur la totalité des nombres premiers inférieurs à une 
limite donnée, 
presentata ?i\ì\\cca(lenùa ìmperlaU di S. Pétcrshonrfj il 24 maggio 1848, e pubbli- 
cata nella raccolta di detta Accademia, Mémoires présentés par divers savants, t. VI, 
p. 141 anno 1851, e nel Journal de mathématiques pnres et appliqwces di Lhmille, 
I sèrie, t. XVII, p. 341, anno 1852. 
Le verità, che furono acquisite ^ mediante questo lavoro, alla scienza, rien- 
trano nel complesso di quelle, che in appresso saranno riferite, e che rispondono 
in modo piìi completo alla quistione ; perciò io ora nel rendere conto di questa me- 
moria mi limito a riassumere i risultati , rimandando per le dimostrazioni alla 
Teoria delle Congruenze del medesimo autore tradotta dalla Dott.* 1. Massa- 
RiNi , Roma, 1895. dove la predetta memoria ò riprodotta, e corredata di note 
esplicative. 
Soggiungerò solo qualche cenno delle dimostrazioni, quando esso mi debba ser- 
vire di addentellato a osservazioni successive. 
Il punto di partenza consiste nel teorema 
