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a) Supposto x>> 1 , somma 
^ L loormj 
(log m)" 
colV avvicinarsi di x ad 1, conccrge a un limite finito e determinato. 
La dimostrazione comincia col provare che questa proprietà è posseduta dalle 
funzioni , clie s' ottengono derivando più volte rispetto ad x le espressioni 
(14) 
2^-^ ' io.(.-i)-2^i-^) ^ 24-p)-2^^ 
dove la prima sommatoria va estesa a tutti i numeri interi r,i, e le altre a tutti 
i numeri primi p. La funzione è introdotta nel ragionamento mediante la pro- 
prietà che la differenza ©(m-fl) — è nulla, se T intero m non è primo, è invece 
eguale ad 1, se m è un numero primo. Si deducono successivamente dal teorema a) 
due altri, che stimo bene esprimere così : 
b) Non esiste limite, al di là del quale cessino di trovarsi numeri m soddisfa- 
centi alle inequazioni 
e(.o>/ ^ 
e(m) < f 
ìgx (logm)" 
ci.?; am 
ìogx (log m)" 
comunque piccola sia la quantità « , ma positiva, e commique grande sia il numero n , 
ma positivo, e altresì finito. 
c) Dato che V espressione — logm, per m = x , tende a un limite, questo 
è — l. 
Tale risultato già mostra non essere accettabile la proposizione di Legendre 
empiricamente dedotta, ed espressa dall'eguaglianza (11); giacché secondo questa 
il limite di - — : — ìo^ m dovrebbe essere — 1,08366 invece di — 1. Si vedrà tra 
poco in qual senso occorre interpretare la su ricordata proposizione, o meglio come 
essa possa opportunamente modificarsi , in modo da restar nel vero. 
22. Espressione di Um' fino agl'infiniti dell'ordine di . Espressione per 
r V ' (logm) 
mezzo del logaritmo integrale. — Da quanto precede si raccoglie che a sinistra 
m 
log m 
di m=:oo, r infinito 6(w) — è di ordine inferiore a quello comune a ^{m) 
ed " 
logm 
Allo scopo di procedere oltre nella valutazione di questa differenza, giova in- 
trodurre la seguente locuzione : Se una funzione f{.m) è tale che sia 
lim 1 [e»-/-(m)] 
( jogm)" I ^ Q 
