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dicesi che fijìi) esprime 6 [m) esattamente fino agi' infiniti dell' ordine di 
mclusivamente. 
Ecco ora una condizione necessaria, cui deve adempire la ora menzionata fun- 
zione f{m). 
d) Se r espressione 
A.:c -] (logm)" 
er m = X ha un limite diverso da 0 , la f (m) non può esjìrimere 6(m) esattamente 
fino agi' infiniti dell'ordine di inclusiva mente. 
L'utilità del teorema consiste in ciò, che permette paragonare la funzione J'im) 
non alla e(/«) , di cui è ignota la espressione analitica, ma all' integrale / , 
. ' log X 
ì 
del quale si sa calcolare con quell'approssimazione, che si desidera, il valore nu- 
merico per ogni m dato. 
Sono corollarii immediati di questa verità : 
e) Za frazione — "i 08366 ^^^^^ -^^^^^ espriìnere ^{m ' Jino agi' infiniti delV or- 
dine di ,, ,j incliisivamente. 
{logmy 
i) AccioccJic la frazione ^j^~t"b rappresenti b{m.) fino agV infiniti dell'or- 
dine di -——-^i ì è necessario die sia A = 1,B = — 1. 
Per tal riguardo si può dire clie deve finire per trovarsi una m , sia pur molto 
grande, dalla quale in poi la frazione ^ — - sarà preferibile al valore (11) for- 
nito da Legendre. L'esperienza però ci avverte che questo valore di m è abbastanza 
lontano dalla regione della serie naturale, alla quale pervengono le tavole di nu- 
meri primi finoggi costruite (cfr. V, 37). 
25. Ecco ora il teorema più saliente della memoria in esame: 
g) Ammesso per ipotesi che 6(m) sia esprimibile fino agi' infiniti delV ordine di 
inclusivamente mediante una funzione algebrica di e"',Ta.,log m,fi7io ad essi può 
m 
{logm) 
scriversi 
m 2!m (n — !)!/« 
logm ' (logm)* ' (logm)' ' ' (logm)" 
Sicché si ha successivamente 
e(m)---— 
,. logm 
lini = 1 
ni=« 1 ! m 
(logm)* 
m 1 ! m 
logm (lojrm)* 
lim — 1 
m=oo ! in 
(logm)» 
