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Poiché l'espressione 
* m llm 2ìm (n — 1)1 m 
iogm (log»?)''' (logm)' (logw)" 
i]x . . . m 
- — - per un infinito dell'ordine di , (cfr. S see-uente, nota), 
Ioga- ' (logm)"^' V a & ' ;> 
ne segue che, nell' ipotesi del teorema y) 
(1 X 
l'integrale j rappresenta anch'esso e(m) sino agV infiniti di queW ordine, fino 
'a 
al quale ^{m) può esprimersi algebricamente mediante e'", m , log m. 
Dimodo che, data l'esistenza del limite, si ha non solo 
lim — -— - — • — 1 , 
ma quanto, supposto che quella ipotesi permanga qualunque sia n , la differenza 
/»"» (j ^. . m 
6(m) — / ; — - sarà di ordine inferiore a quello di - — ^—-i , comunque grande sia n. 
^ ' ,/ Ioga? ^ (li^'g'") 
3 
Il valore principale dell' integrale 
r"' dx . , ,. /• ' ùx , r"' (]x\ 
I , cicè lim / -LI \, 
J Ioga? Ioga; J \ogx 
0 0 ' 
il quale non differisce che per un numero finito , indipendente da m , dall' inte- 
/"» fi ^ . . . ... 
^ , si chiama logaritmo integrale, si indica col 
simbolo Li{m) , e rappresenta una parte importantissima in questa teoria. 
In virtù del principio che il limite del rapporto di due infiniti non muta, se 
questi si aumentano di infiniti di ordine inferiore, e in particolare di quantità fi- 
nite, il precedente risultato può scriversi 
e(m) 
lim — ^ ^ = 1 . 
r/i=M Li (m) 
Il resto della memoria è dedicato ad applicazioni , di cui più in là terrò pa- 
rola (Capitolo VII). 
24. Nuova enunciazione dei precedenti risultati. Esatto apprezzamento delle 
formole di Legendre e Gauss. — Ricordando le definizioni di funzioni assintoticlhc 
fra loro, e di espressione o legge assintotica di una funzione (Cesàro, Elementi 
di Calcolo infinitesimale, III, 19, p. 73) i precedenti risultati possono enun- 
ciarsi così: 
Ammessa resistenza dei limiti , per m = co , dei rapporti 
m 
^m) e(w) e(Hi) ^'"^~~logm e(m) efm) 
»n ' m ' m ' Wm /"" dx ' L\ {jn) ' 
logm log m— 1,08366 logm— 1 (logm)' 
/ dx 
, / log X 
