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Le forinole 11) e ^13) di Legeudre e Gauss reggono dunque, ma considerate 
come eguaglianze assintotiche. 
25. Con lieve modifica i! procedimento di Tchebichef conduce a un risultato 
più completo trovato poi da Riemann. — Come più in là sarà esposto, il problema 
in esame ha fatto un gran passo quando è stata chiamata in ajuto la teoria delle 
funzioni di variabile complessa. Non per tai.to è da osservarsi che il notevole valore 
approssimato di 0 {x) , cui per tale via si perviene, può agevolmente ottenersi me- 
diante il procedimento di Tchebiclief ; e poco mancò che questi non l'avesse rinvenuto, 
come ha osservato il Gram a pag. 301 della sua memoria premiata: 
Undersogelser angaaende Maengden af Primtal under en given 
Graense. Vidensk. Seisk. Skr., 6te Raekke, natarvidenskabeUg o(j mathematisk Afd. 
2det, Bd. VI, Kjobenhavn, 1884. 
In effetti considero la funzione 
e,(m) = e(m) + — e r-u- ) + e (>n' )~ — . 
Essa gode della proprietà che la differenza ^^[ni + 1) — ^,(/>0 è nulla, se Fin- 
terò m non è una potenza intera qualunque d' un numero primo ; è invece eguale 
ad — , se m eguaglia la potenza v'"* di un numero primo. 
Noto dippiù che, essendo 
log \ 1 — ) — — ^ — o" — ^ :::3i 
3 
la espressione 
(15) 
dove le sommatorie sono estese a tutti i numeri primi , è nulla identicamente, in- 
sieme a tutte le sue derivate. Se si sostituisce la 15) all' ultima delle espressioni 
(14), il medesimo procedimento, col quale Tchebichef provò il teorema a , conduce 
invece all'altro: 
Supposto x>> 1 , la somma 
1 
i)-e.(»2) 
1 -| (lo- mi" 
coir avvicinarsi di x adi , converge a un limite finito e determinato. 
E poiché il teorema a) , senza bisogno di altra proprietà speciale della fun- 
zione condusse Tchebichef a conchiudere che questa funzione può essere rap- 
presentata mediante il logaritmo integrale; così la osservazione fatta abilita, nella 
ipotesi analoga a quella di y) , ad argomentare lo stesso per la funzione 
Da ciò, l'onic si vedrà più sotto (cfr. Vili, 69), si deduce per 6(/m) una forinola di 
approssimazione, trovata poi da Riemann, più completa che \\[m). 
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