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26. Seconda memoria di Tchebichef. Funzioni = 2 ^og-/^ , e ^^j?). Poslu- 
n=l 
lato di Bertrand. — Non si può passare oltre senza dar conto qui dell' altro lavoro 
dello stesso Tchebichef : 
Sur les nombres premiers. Jlémoires présentés à V Acadèmie Impèriale des 
scìcnces de St. Pcfersbourg par divers savanis t. VII, p. 17, 1854 e Journal de ma- 
iJièniatiques p. et a. de Lionville, t. XVII, p. 366, 1852. 
Sebbene molto complicate siano le espressioni dei limiti , fra i quali il dotto 
russo in questa ulteriore memoria racchiude la funzione 6 [x] , pure il principio, da cui 
parte, è estremamente importante, e a questo mettono capo, come s'avrà spesso in se- 
guito occasione di verificare, interessanti ricerche sui numeri primi. Esso si enuncia 
li) Indicata con ?v(x) la somma dei logaritmi neperiani di tutti i numeri primi, 
che non sorpassa no x, e posto 
?.(ó-) + X(J)-X(.v^)-r--- = 4'(-), 
si ha 
( 16) + 4- (f ) - . . . = log [ 1 . 2 . 3 . . . E(a ) ] . 
Questa eguaglianza si dimostra facilissimamente, giacche è agevole il vedere 
che se ^ è un numero primo, che non supera x , ed è 
ambedue i membri dell'eguaglianza (16) equivalgono alla sommatoria 
estesa a tutti i numeri primi non superiori ad x. 
Partendo da questo teorema, con un procedimento abbastanza lungo , si tro- 
vano due limiti, che comprendono fra loro la funzione -^['r) , e poi si fa lo stesso 
per cioè si ricava: 
i) Posto 
L 1 ' 
2* . 3* . 5^ 
= 0.92129202. . . = D , 
j_ 
30'» 
si hanno per «p(x) le due limitazioni 
6 5 ,5 
'^{x) < — rx>; + -- -— (Ioga-/- + — log.r + 1 
i) 4 Ic'go 4 
5 
<{'(.'■)> Dj? ^7 Ioga; — 1 , 
