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e ]^eT X(x) le altre due 
\{x) < - D/^ + (log u f + I- log.r + 2 
5 4 logD ^ 
> D.; ^ Dai-- (log^)"^ - ^ log.. - 3 . 
Quindi per la totalità dei numeri primi compresi fra due limiti si trae: 
j) La totalità Sr(H) — ^(h) dei numeri prhm più grandi dih.,e che non sorpas- 
sano H , verifica le ineguaglianze 
d( ^ll-h]-Y)iè-~ + [2aog H)-^ + (log hf] + ^ (21og n +3 log /i) -L 5 
5r(H)-^(;i)< ^ 
log // 
D( H_l;,)_D('|H5"_A"')__£_[(logH)' + 2(log/0^J-|-(31ogH + 
logH 
Da questo enunciato si deduce, come corollario, il postulato di Bertrand (M é - 
moire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction 
quand ou y permute les lettres (\\\'Q\\QvQÌQvm.Q. Journal de VÉcole Poly- 
technique, Cahier XXX, p. 123, 1845) : 
A partire da m=4 vi è sempre mi numero primo più grande di m e più piccolo 
di 2m — 2. 
27. Nuovi limiti racchiudenti ^{x) e fornenti un valore approssimato di que- 
sta funzione con un errore minore del 10 per cento. — Infine il Tchebichef si pro- 
pone di trovar due limiti piìi ristretti di quelli esibiti dal teorema j) , e per far ciò esa- 
mina le serie della forma ^Fip), dove la sommatoria è estesa a tutti i numeri 
primi. Trova due limiti frai quali è racchiusa la somma di quanti si vogliano 
termini consecutivi di detta serie, e deduce poi il teorema : 
k) Se la funzion'i F(x), da un certo valore di x in poi, resta positiva, la conver- 
genza della serie 
y F(m) ^ F(2) F(3) F(4) , 
-^logm log2 log3 ^ log4 ' *" 
{dove la sommatoria è estesa a tutti i numeri interi maggiori di 1) è condizione neces- 
saria e sufficiente affimch'ì la serie 
2Ffp)==Fi2) + F(3)-f F(5Ì+... 
p 
{dxìve la sommatoria è estesa a tutti i numeri primi) sia convergente. 
Dopo ciò, applicate le due limitazioni trovate alla somma dei termini di 2 
V 
corrispondenti a tutti i numeri primi non superiori ad .r, vi suppone F(^y) = l, 
e perviene alla proposizione: 
