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1) Posto fer hrevità 
si ha 
F,(l) F,(l) *F,(m)-F,(m-l) 
F,(l) F,(l) 
]og2 log 2 
F,(m)— F,(w-1) 
logm 
log 2 lo? 2 ^ \o'xm 
1 
La differenza di questi due limiti, fra cui s'è racchiusa \jc), è minore di 
del limite inferiore; siccliè, se si sceglie come valore approssimato di 5 Or) la se- 
misomma dei due limiti. Terrore è minore del 10 percento. 
Diffìcilmente però da queste due formole si può trarre qualche utile conchiu- 
sione circa la frequenza dei numeri primi. 
28. Complementi di Sylvester e di Gram. — A queste ricerche fa seguito la 
memoria 
Sylvester — On Tchebichef's Theory of the Totality of the Prime 
Numbers comprised within given Limits. American Journal of Mathema- 
tics. Voi. IV, p. 230, 1881. 
In essa Fautore comincia dal notare che, sebbene non esplicitamente enunciata 
dal Tchebichef , pure è immediata conseguenza di quella parte del teorema i), as- 
segnante due limiti per la funzione '^[^) , che la totalità dei numeri primi com- 
presi fra ./--l-H e (1 -r t)j:-r K diventa infinitamente grande con x, per piccolo che 
sia e. Però ivi la proposizione non resta provata per tutti i valori di e , ma soltanto 
per quelli , che eccedono . Lo scopo della memoria di Sylvester è di fare un passo 
avanti nella stessa direzione, e di mostrare, seguendo i principii di Tchebichef, 
che la proposizione è pur vera quando e è compresa fra 4" ^ H ^—r^ ; cosic- 
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chè la regione dell' incertezza è ridotta a poco più che — di quella, che era secondo 
Tchebichef. 
Mi astengo dal riassumere qui la lunga e minuta analisi del Sylvester , e mi 
limito a questo rapido cenno per la considerazione che la importanza del progresso 
realizzato da Sylvester è scemata, quando il teorema in discorso è stato completa- 
mente, e .senza lasciare nessuna regione di incertezza, dimostrato, come sarà espo- 
sto nel Capitolo X .'§ 87). Quivi (§ 84 a 86) sarà ripreso pure lo studio delle fun- 
zioni X{x) , <if[x) definite nel § 26. 
Anche un lavoro di Poincaré si connette colle ricerche di Tchebichef ; ma di 
es.so sarà piìi opportuno parlare in .seguito (XI, 95). 
Invece si connette più direttamente colle ricerche sopra esposte di Tchebichef 
e di Sylvester lo scritto 
Gram — Note sur le problème des nombres premiers. Oversight over 
d<'.t Kfjl. Danske Viienskabernes Selskabs Forhandlinger, Annata 1897, p. 235. 
