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Nel teorema più sopra indicato con i) considerando le limitazioni di non 
tenendo conto dei termini logaritmici, e sostituendo per D il suo valore , le ine- 
guaglianze di Tchebichef possono scriversi 
l,10555a; > > 0,92129/; . 
Ora Gram va più oltre in questa via, e perviene a dimostrare le ineguaglianze 
1,07745j; > ■!^{.r) > 0,93447./; ; 
COSÌ r intervallo frai due limiti è ridotto a circa tre quarti della sua ampiezza ori- 
ginale. 
E bene però riflettere che già Sjlvester, lungo l' articolo or ora mentovato, 
allo scopo di restringere i limiti racchiudenti 4^ {^), avea stabilita una serie di 
di diseguaglianze 
jx,a; 4- R ..Ioga; > '1 {x) > v, .r -f- S, log^; ( i = 1 , 2 , 3 , . . . .) , 
e dedotto 
li^ = 1,006774 ... , v„ = 0,992612 
In nessuno dei due lavori si scorge come i rispettivi procedimenti vadano con- 
tiuuati in modo da poter dimostrare lim — - = come d'altronde si sa per al- 
tra via (X, 85). 
Questa investigazione di Gram è preceduta da un'altra ricerca di due nuovi 
limiti comprendenti fra loro ^(^), nel caso particolare di ^=:2". 
Costruiscasi la successione dei numeri interi povitivi 
^ = 2 , = 1 , ^3 = 2 , ^ 3 , = 6 , = 9 , = 18 , = 30 , = 56 , 
t,, = 99 , i-^, = 186 , /j, = 335 , . . . , 
il cui termine generale è fornito dalla eguaglianza 
n 
dove la sommatoria è estesa a tutti i divisori , d.^ , . . . , di e il simbolo p. di- 
nota la funzione numerica . che si troverà definita più sotto nel Gap, Vili , § 69. 
Dopo ciò il Gram con un ragionamento, che egli stesso dichiara insufficiente, 
perviene alle ineguaglianze 
1 + + ^3 + • • • + + > ^(2"; > /H- ^ + ^ -1- {- . 
Inoltre per la funzione 
