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all'applicazione ai numeri primi del teorema del § 29 , il Cesàro prende a consi- 
derare la serie 
K^^) '^K-^-J — ^ — .yc T .^x ~r ~r T •" ■> 
p 
la quale in virtù del teorema (IV, 27, k)) è convergente per ^>>1, divergente 
per £e ^1. 
Or dalla (17) si trae 
(21) log ? (..) = _ 2 log ( 1 - = <; ) -f I c (2x) -h j <; (3a-) + 1 ? (4:.) -] 
Riflettendo inoltre clie la serie 
Ì-?(2)^i-?(3)4-^?(4) + ... 
è convergente, giacché ^, ^ <;(//i + 1) • "Sl^'O < 4" ' ^ chiamandone A la som- 
ma, si ricava da (21) 
(22) ■ lim i log^(x) - ?(.>•) ] = A . 
<r=l 
Moltiplicando per dx la (18) , integrando fra 2 e ;r , e passando al limite 
si ha 
ce oc 
i^(2,^-"'ss^)=2„-?ì^-'+c-i-o,+io...... 
Ora tenendo conto delle (19) si deduce 
00 
2- ^ — 1 + C — — C, + — C„ = lim(— i— H 1 1 ^ loglogmì 
mMogm ' 2 '^3 * \2 log 2 ^ 3 log 3 ^ ^mlogw " ^ 1 
/, (Iogm)« (logm)* Hcgm/ , , \ 
-hm (^logm 2r2- + -3!3 + - — log\ogmj ; 
ma si ha per una delle definizioni della costante d' Eulero 
/ , , \ 1 u\ dM ^ 
l'i:("-2r2 + 3T3-7TT+--'°^")=/ lHr-„-nv=°' 
0 
quindi . ponendo 
^23) 1'"^ (5-r-o + + •••+— r iogiog,«) = B, 
m-«\21og2 3 l0g3 MtiogWl / 
si Ottiene 
GO 
(24) lim/V-^-^ _log-L-) = B-C . 
x=i \ ^ m log m X — 1/ 
«-■=4 
