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4"" colonna della tabella situata in ultimo di questo lavoro coli' aggiunta delle devia- 
zioni relative per 100 000. Il confronto colle altre colonne mostra clie la formola di 
Cesàro vince quella di Legendre dai 2 000 000 in poi , e quella di Tchebichef- Gauss 
dalla prima fino alla penultima linea della tabella. Al contrario è vinta gene- 
ralmente, salvo brevi tratti, dalla formola d'approssimazione di Riemann-Gram 
[Vili, 69, for. (92), (98)]; però durante l'estensione della tabella i risultati delle 
due formole ultimamente in paragone si mantengono a una distanza non . molto 
notevole. Siccbè, vista la più semplice calcolazione numerica, la formola di Cesàro 
può, per un buon pezzo, essere utilmente adoperata. 
Il vantaggio di essa sulla formola di Legendre si spiega facilmente colle con- 
siderazioni del (III , 16). Può maravigliare , a prima giunta però , il vantaggio 
sulla formola di Tcbebicbef-Gauss, che come si vedrà nei § 39 e 40, è più com- 
pleta. 
Per spiegare il fatto noto cbe i due valori possono scriversi sotto le forme 
loffW — 1 — 
logm (logm)^ 
52.'^ 56»i G9m 
w I m , 2>ìi ^ 6m , llm , 23hì , (log)u)® (logm)' (logm)* 
~ logm (log m)- (log >nf '' {ìogmy'^ {ìogtn)^'^ {log m)"'^ ^^^^^^ ^ T" 3 
° logm (logm)' 
_ 1 2»ì 6m , 24m 120m P'" dea 
^' ^'"^ ~ logm " (log mf (ìogm)' (log (logmT* (log mf ^ " J (Ioga;)' ' 
0 
Laonde il valore fornito dalla prima formola è inferiore a quello dato da Li(y;ì). 
Or la tabella numerica mostra che, almeno fino all'estensione di questa, Lì(;;ì) ha 
bisogno appunto di una correzione negativa, e inoltre la correzione operata su Li(//i) 
dalla formola di Cesàro comincia col non essere più grande di quella, che com- 
pete a Li(m); ecco perchè l'anzidetta formola, sebbene meno completa, può vincere 
per un pezzo quella di Tchebichef-Gauss. Che questo poi non debba continuare in- 
definitamente si scorge dal fatto che la correzione in tal modo operata su Lì(/m) 
è di un ordine di grandezza superiore a quello, che gli occorre secondo il teorema 
di de la Vallèe Poussin (cfr. X, 90) già accennato discorrendo del paragone fra 
le formole di Legendre e Gauss (III, 17); quindi per /ìì, abbastanza grande dovrà 
finire per prevalere la formola di Tchebichef-Gauss su quella di Cesàro ; ed in- 
fatti i valori di Sr iscritti nell'ultima linea della tabella ci danno indizio che, prima 
di m ~ 1 000 000 000 , questa previsione si ò già avverata. 
38. Diagramma rappresentante le deviazioni delle formole di Legendre 
Tchebichef-Gauss, Cesàro, Riemann-Gram. Conferma dell'ordine di preferenza di 
queste. — A meglio spiegare la maniera, colla quale al crescere di t/i si comp )r- 
tano le varie formole pel calcolo di ^(m) , ho stimato bene alla tabella nume- 
rica far seguire uu diagramma, che graficamente rappresenti il modo, col quale 
variano le deviazioni delle formole siiddette. Ma a differenza di quanto fa il Crlai- 
sher (p. 88 della Introduzione al IH voi. delle suo tavole), in luogo delle devia- 
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