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la quale trovasi dimostrata nella Teoria dei nnmeri di Lejeune-Dirichlet 
(trad. Faifofer, p. 25), e si deduce clie, posto 
V\b{x),x^ ' {x — \)\ 
P[e(a7),a-] 
la funzione F[0(^'),a;j è tale che, sostituitovi per la variabile un intero primo 
risulta quale valore della funzione lo stesso intero x ; mentre quando il valore , 
che s' attribuisce alla variabile è un intero composto ^ , la F assume il valore 
X -\- 1. Sicché andando a sostituire al posto di j? i successivi numeri interi 
2,3,4,5,6,7,8, 9, 10,11,... 
s'ottengono i valori 
2,3,5,5,7,7,9,10,11,11,... . 
Allorché si pone un valore per x , che non è un numero primo, si trova co- 
me valore della funzione il numero, che bisogna successivamente rimpiazzare alla 
variabile nella funzione ; e questa successiva sostituzione corrisponde a quella, che 
l'autore chiama iterazione della funzione. Per contrario quando il valore , che si 
pone al posto di x è un numero primo, s'ottiene lo stesso numero primo, che già 
s' è sostituito, e r iterazione non fa più prog-redire il valore della funzione. Sic- 
ché non solo si è avvertiti, secondo l'espressione dell'autore, automaticamente quando 
il numero assegnato quale valore di x- in F è primo, ma ancora s' è formato questo 
numero primo ./• per mezzo dei 6(^) numeri primi inferiori ad x. 
Nella pratica però le calcolazioni di a;! e di P[6(./') , .?"] richiederanno sicu- 
ramente un lavorio non lieve : la minima parte di questo è costituito dalle divi- 
sioni di J7 per iniii i nuueri primi ad esso inferiori! 
Questa fatica può in parte essere risparmiata mediante una soluzione meno 
complicata , seguendo il secondo indirizzo , la quale fu data , già molti anni fa, 
nella nota 
Smith — On the Hi story of the Researches of M at li e m a t i c i an s 
on the Subject of the Serie s of prime Numbers. Proceedinr/s of the 
Ashmolean Sociehj. Voi. Ili, p. 128. 1857 ( riprodotta nei Collected Maihematical 
Papers dello stesso autore voi. I, p. 35). 
In essa , immaginati scritti i numeri della serie naturale , si sopprimono i 
numeri primi y;, , e i multipli di ([uesti : resta una successione, che 
comincia con 1 ed è costituita dai numeri primi relativi a l>i , •>•■•■> l'„- 
scindendo dall'elemento 1 , gli altri inferiori a p^^ sono primi assoluti, e saranno 
quindi i numeri 
-^V» ?'e<;>». • 
