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Supposto il -\- k ^ HP^) 5 virtù della formola di Legendre [II, 6, a)] si lia 
n n n 
Ora, se per brevità si pone 
la precedente eguaglianza va scritta 
ossia 
e, sostituendo a ^^^^ il valore /è + 1 + 4> ( nel secondo membro di questa e di 
quelle, che successivamente verranno, si deducono 
Pn.K = /i -f 1 + <D [7i + 1 + * I A + 1 + <D(^„,,) ì ] 
Ciò premesso lo Smith enuncia, senza dimostrarla, la seguente regola : Es- 
sendo k ^ — n, si calcolino gli elementi della successione 
<D(?<-f 1) , <D 1/1+1 + <l)(fe+ 1)1 , + !+<!) 1/1+1 +<D(?J + 1)1] , .... 
fino a quando si abbiano due elementi consecutivi di egual valore: aggiungendo 
+ 1 a questo lor valore comune si ha 2\,,k- 
Esempio. Sia % = 4, vale a dire si considerino come noti i numeri primi 
■p^ = 2 , ]9., = 3 , p^ = 5 , p^ = l , e si voglia per mezzo di essi calcolare il valore 
di qualunque numero primo inferiore a = 49 , cioè essendo 6(49) = 15, si vo- 
,glia il valore di uno qualunque dei numeri primi p^^Pe^ - • • 'A.-,- Calcolo il va- 
lore di yy,3 ; sicché = 9 ; seguendo la regola testé enunciata s'ottiene : 
<J>(10) = 9 , <|)(19) = 14 , <^(24)r^l8 *(28)r=22 , <|)(32) = 24 , <1)(34) = 26 
*(36)r=28 , (I)(38) — 29 , <I)(39) = 30 , <I)(40) = 3l , 4>(41) — 31 ; 
risulta- dunque 2^,3 — 41. 
Di modo che anche la presente regola é un procedimento, che, secondo 1' e- 
spressiono di Isenkrahe, automaticamente si chiude appena giunti al numero primo 
desiderato. 
La dimostrazione della suesposta regola si ricava dalle seguenti riflessioni. 
a) Riprendo a considerare la successione più sopra formata dei numeri primi 
