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relativi a Pi, p^, • ■ • , e dati due interi qualunque « , P , tali che sia « ^ P , 
appartenenti o no alla successione, chiamiamo per poco con 5(« , p) il numero de- 
gli elementi della successione più grandi di * , e non superiori a p ; allora sarà 
l) Per la succitata formola di Legendre si ha 
*(«) = a — 5(0 , a) . 
c) Supposto a^P, si ha <!>(«) ^ <I»0) ; invero 
<D0) = ^ _ 5(0 , = a + - a) - 5(0 , a) - 5(« ,g) 
= a - 5(0 , a) + 0 - a) - 5(a , p)^ <D(«) . 
d) Poiché 
k -f 1 <p„,, , 
sarà 
<l>(/i+l)^<I>(P„.,) , 
e quindi 
+ 1 4- <I>(^H- 1) ^ft + 1 + , 
ossia , il secondo membro equivalendo a giusta quanto in principio s' è sta- 
bilito , 
e successivamente 
ft + i+<l,j/,4.i4.<l>(/,_|.i)j^^^^^ 
/i + 1 + ,D L /- + 1 _|_ d, , _|_ 1 + (I>(/t 4- 1 ) ! ] < ^^^^ 
e) In virtù di h) si ha 
/i + 1 + <I>(/f _|_ 1) ^2(/,- + 1) - 5(0,fe-[- !) 
/i-}-l+<I)i/i+14-<I)(/v4-l)l=r3(/; + l)-5(0,ft + l)-5|0,2(/i+ 1) — 5(0,/i+ 1)1 
/i + 1 + *[/{+ !+*(/{+ 1)(] = 4(A + l)-5(0,/; + l)-5i0,2(/i+l)-5(0,/;-|-l)i 
-8[0,3(/i+l) — 5(0,/i+ l)-5lO,2(/; + l)-5(0,/H-l)l] • 
La successione di numeri interi formata dai secondi membri di queste egua- 
glianze non potendo mai diventar decrescente in virtù di c), nò crescere indefini- 
tamente in virtù di ^/), deve finire per avere elementi costanti. Affinchè ciò possa 
succedere la funzione 8, che occorre ulteriormente togliere dal valore deirelcmento 
precedente deve eguagliare k -\- \ , di cui volta per volta va aumentando il primo 
