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termine. Quando ciò avviene vuol dire clie i termini della successione ian rag- 
giunto, e si mantengono poi sempre eguali al valore p^^^ . il che dimostra la re- 
gola di Smith. 
Osservo infine che il calcolo delle diverse funzioni * può essere abbreviato 
facendo tesoro dei procedimenti di Meissel e Rogel (II, 11, 13) =*). 
43. Le prime quattro formole di Pervouchine. Deduzione e correzione della 
principale di esse secondo Cesàro. — Risponde alla quistione in discorso, seguendo 
il terzo indirizzo una delle formole, che nella raccolta BuUetiii de la Société Phy- 
sico- inathrmaiìqae de Kasan (sèrie 2, voi. I à IV, 1892 à 1894} è venuto pubbli- 
cando Pervouchine. E poiché ognuna delle ora mentovate formole è degna di in- 
teresse, così io parlerò di tutte. 
L'autore posteriormente le ha fatte comunicare al Congresso di Zurigo, ed io 
quindi dalla nota 
Pervouchine — Formules pour la déterm ination approximative des 
nombres premiers, de leur somme, et de leur différence d'après le nu- 
mero de ces nombres. Verhandlungen der ersten internationalen Mathematiker 
Kongresses in Zilrich , 1897-98 , p. 166 , 
quale da più recente fonte, le estrag-go. 
Le prime quattro fra le dette formole sono 
V 5 1 
(52) — = logn -f loglogw — i -f- ' 
n - . o o . 121ogn ' 24(logn)* 
n n 
(53) '^}—^ = \ogn-\-\og\o-n~%--^—, (54) Z!? _ J^L_ = 1 . _J i \ 
~ 6 -r e c 2 121og«' ^ ' n n 2 ^21ogn^ 24(logn)* 
'=1 t=i 
17 3 1 
121ogM 8(logn)« 12(logw)=' 
*) Uno scopo ben più modesto di quello dei due scritti, che ho riassunto nel §41, raggiunge 
la nota : 
Valle — Sulla totalità dei numeri primi fra due limiti dati. Memorie della Pon- 
tificia Accademia dei nuovi Lincei. Voi. XIV, p. 144, 1898. 
Una fugace enunciazione dei risultati di Gauss, Tchebichef, Riemann, Meissel serve di intro- 
duzione a questo scritto. 
Ciò che in fondo esso rivela come nuovo è un teorema, che può enunciarsi così: 
Pn^^>P»^■' ■■• ^P„^ sono t numeri primi scelti ad arbitrio frai numeri primi p, p,. , 
e . />„^_^ sono i rimanenti fra questi, e si pone 
allora, se sono soddisfatte le ineguiiglianze 
il valore assoluto della differenza — , se non è 1 , è un numero primo superiore a p^. 
La dimostrazione brevis.sima è fondata sopra le più elementari considerazioni. 
