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Queste, pare, siauo state trovate con metodo empirico. Però i matematici si 
sono occupati di dedurle col raziocinio; ed invero nella nota: 
Cesàro — Sur une formule empirique de M/ Pervouchine. Comptes 
rendus des s. de VA. d. s., voi. CXIX, p. 848, 1895 , 
si trova dimostrato che la (52) è accettabile con qualche correzione negli ultimi 
termini ed è avvertito che le altre eg-uaglianze agevolmente da questa si deducono. 
Il Cesàro parte dalla sua formola assintotica per ^(m) (V, 37), la quale, rim- 
piazzato che si sia l'intero qualunque /m col numero primo ^v^, va scritta 
(56) ^ = log»_i__i , ^ -, 
ossia, presi i logaritmi di ambo i membri, 
\ogp„ = log« + loglogi,, + log (l - ^-i- - -...). 
Si sostituisca all'ultimo logaritmo il suo sviluppo in serie, e si supponga n 
tanto grande , che si abbia sufficiente approssimazione ritenendo di questo e dei 
successivi sviluppi fino ai termini, che moltiplicati per (logn)* diano un prodotto 
che non s'annulli per >i = oo ; si ottiene 
donde, secondo lo stesso criterio, 
1 1 Ioglogp„ 
\o^p„ log« (log»)* 
Sostituendo questo valore nella precedente eguaglianza si ha 
(57) log» =rlogn + loglog» — -^ + ~^°^'°^^^"7 ^ . 
^ ' ^'^ ^ ^ h ^fn log^^ 2(l0g«)- 
Mercè queste ultime due relazioni la (56) si trasforma in 
(58) ^ = log. + loglog,, - 1 _ + . 
' n " ìogn 2(logn)- 
Resta ora ad eliminare loglog^;^. Per far ciò si prendano nella (57) i loga- 
ritmi di ambo i membri, e si ha 
11 1 1 , 1 , loglogp„ 1 \ , , , loglogn 1 (ioglogn Y 
log log» = log log n + log 1 -] — "^^^ = log bgrt -\ - — — : ^—t^r^ 
^ oi^n h o -r r>y -f j^g^^ (logw)V ^ ^ ^ logn (logn)' 2(logn)"- 
Atti — A'Z — S<?rie 2" — N." 1. g 
