— as- 
servendosi della (12) posta sotto la forma = , egli camhiò nella egua- 
glianza precedente la variabile indipendente . e scelse come tale ; sicché la for- 
mola sommatoria diventò 
t-i 
720 d 
Da qnesta trasse in particolare pei problemi di Legendre 
2 f =^ 0,267... - log log,, -f --^ -1 - . . . 
Jf = 0,581078... 4- log logp„ -U 1 T -i^ + 4 f + • • • " 1 (l " ^) + 
1 - * loe— log — - \ /» 
1 
0,452247 ...-]- /li^l. + -i- _ 1 
Pr, 
L"uso della (12) considerata come eguaglianza del tutto completa , Toperare, 
prescindendo da qualunqne considerazione del resto, su sviluppi ritenuti non as- 
sintotici, rendono non soddisfacente questo procedimento. Prima di abbandonare le 
investigazioni di Hargreave noto che, ponendo F(^;.) = j)/", egli dedusse il teorema : 
Za somma delle m"" 'potenze dei numeri primi fra \ escluso ed x incluso egua- 
glia il numero dei primi fra y*"^' ed x'"*' aumentato di "^(x'" — j'") con xilieriore 
correzione involgente le potenze (m — 1)"" "', e le più basse di x edx , in comhina- 
zi-one coi loro logaritmi, che ascenderà ad un totale relativamente piccolo. 
Proposizione, clie può esprimersi succintamente colla formola 
n 
e questa comprende come caso particolare la proposizione di Pervoucbine enunciata 
in fine di (VI, 46). 
Parimenti adoperando la (12), e con alcune considerazioni circa il grado di 
esattezza nella valutazione di certe espressioni. Tcliebichef nella memoria citata 
nel (IV, 21) pervenne alle formole, da valere per n sufficieutsmente grande 
n n 
2;- = e + loglog^,. , |T(i_1) = -'J- 
es.seiidù c , e Ct (lue numeri indipendenti da n. 
