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Ora 
quindi in virtù di (68) e (67) 
%(«) ^ 
J[ ^ = e^"*'''' logn 
essendo 
e perciò 
' ' ^ Pi 
^_ 4_ , 1 
^<") 
lim (V-i- H— ^ì = ec , 
n=oo \10g« 1 / 
i-) 1 
Pi 
che è la (62). 
53. Estensione fatta da Mertens al caso, in cui si cerca la somma delle in- 
verse dei numeri primi non superiori a un limite assegnato e della forma 
4y -f 1 , oppure 4y -\- 3, Si deduce che queste due forme sono egualmente fre- 
quenti frai numeri primi. — Pervenuto a questi risultati il Mertens procede ad 
estenderli, trovando la sommai— anche neir ipotesi che essa sia estesa uon a 
Pi . . 
tutti i numeri primi fino a un dato limite, ma solo a quelli di essi, che abbiano 
una prescritta forma lineare: la quale estensione è di sommo interesse, rianno- 
dandosi con problemi di distribuzione dei numeri primi tra forme lineari , dei 
quali in seguito a lungo discorrerò (Capit. XI). Egli comincia dal considerare le 
due forme 4y + 1 , 4y 3. Tale ricerca è fondata sul lemma : 
La somma 2 ( — 1) ^ non può sorpassare una determinabile costante 
i-I 
r , per grande che sia n. 
Da questo si desume la convergenza della serie 
(60) J.' 
i-z ' 
convergenza che non può essere che semplice, poiché la serie formata coi valori 
assoluti dei termini è divergente. 
Chiamata S la somma della suddetta serie, si deduce poi 
V(_l)2 _=.s+,— fl^^ , 0<-n<l; 
~ Pi log {n 1) 
A TTi — Vul. XI - Serie — N " I. 10 
