ma per le (68) , (67) si ha 
- 74 — 
^'"^ 1 14 2 
n. o c I 2 log(n-j-l) nlogn 
dunque, sommando o sottraendo le due ultime eguaglianze, e dividendo per 2 i 
risultati, si ricavano 
11 2 ' ^ 
2 — — — loglcgw-! — — -f- ì , = 1 , mod. 4: 5' ^ ??) 
1 
C_ A S 
11 2 ^ 
2 -r = — loglogw -i \ri , (3' = 3 , mod. 4 ; 7' S >0 , 
dove e , s' rappresentano numeri . clie non possono superare il limite 
log(M +1) n logn * 
In conseguenza si traggono 
(i^ = 1 , niGil. 4 ; 3 ^ n) 
(7' = 3, mod. 4;(7'^«) . 
Prima di procedere oltre è conveniente osservar qui un fatto, clie sarà richia- 
luato in appresso, cioè che dalla convergenza semplice della serie (69), applicando 
il noto teorema : 
Se i termini (T una serie semplicemente conrergente si seguono decrescendo in 
valore assoluto, il rapporto fra, il numero dei termini positivi, e quello dei termini 
negativi non pu) tendere a un limite diverso dall' unità, 
si conclude che il rapporto fra la totalità dei numeri primi della forma 4y -|- 1 
non superiori ad n e la totalità dei numeri primi della forma 4y -|- 3 non supe- 
riori al medesimo limite, non può tendere che all'unità, quando n cresce inde- 
finitamente, 0 in altre parole che le forme 4 y + 1 > 4// + 3 sono egualmente fre- 
quenti frai numeri primi (Cfr. XI, 94). 
54. Richiamo della teoria dei caratteri di un numero secondo un modulo 
assegnato primo con esso. Estensione fatta da Mertens del procedimento del 
fi 53 al caso, in cui si cerca la somma delle inverse dei numeri primi non su- 
periori a un limite assegnato, e compresi nella forma lineare + N. — Negli 
ultimi paragrafi del suo lavoro il Mertens passa al caso generale della forma li- 
neare My -j- N. 
Per seguire lo sue argomentazioni occorre la conoscenza della teoria dei ca- 
C — A h S 
11 ' ^ 
lim y log logn = ■' r= — 0,2807420562... 
n =M ( '/ 2 1 2 
C — A — i- — S 
^ y i_ _ log logn J = .:: = 0.0482392690... 
n— X 
(2 
