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Dunque in quanto al numero — 1 , qualsiasi carattere (modulo h"^) ha il va- 
lore -fio — 1- 
Frai caratteri d"un numero n rispetto al modulo h'^ ve n" ha di quelli , che sono 
anche caratteri dello stesso numero rispetto ai moduli h'^~"^' (y=:1 ,2,3,... .-«r —1). 
Questi si chiamano caratteri improprii rispetto al modulo li^ \ quelli che re- 
stano , quando si sono soppressi tutti i caratteri improprii , si dicono caratteri 
proitrii. 
Per dimostrare l'esistenza dei caratteri improprii osservo primamente che la 
scelta di (j può esser fatta in modo che essa sia radice primitiva rispetto a qua- 
lunque potenza del numero primo ^ (Serret, Cours d'Algèbre supérieure, 
T. II, p. 78); perciò gl'indici v , di >i rispetto ai moduli A^, — 7 saranno con- 
grui rispetto al modulo (p(A''~"'0- 
D'altra parte le radici 
dell'equazione 
si trovano anche fra le radici 
dell'equazione 
e quindi i caratteri 
si trovano tutti frai caratteri 
V V V V 
I caratteri improprii rispetto a sono perciò tutti i caratteri rispetto a 
fi^'\ essi dunque sono in numero di ^(A'^"') ; quindi i caratteri proprii rispetto 
a sono in numero di 
cp(7i^) _ 9(/ì^-^; — h'^-\h — 1) — h'^--{h — \) = h'^-\h — 1)» . 
Dei 9{Ji^'^) caratteri improprii ve ne sono h^'^iji — 1)* proprii rispetto al mo- 
dulo Ji^~^Ji^'\h — 1)- proprii rispetto a e così continuando h{h — 1)* proprii 
rispetto a h^,{h — 1)' rispetto a Io , eh — 1 rispetto a h. E per verifica 
h^-\h — ly 4- h'^-^h — -}- h^-\h — h — 1)' + — D' + (h — 1) 
