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56. lu secondo luogo il modulo sia la potenza di 2. e quindi sia n un 
numero dispari qualunque. L'esponente p va supposto>2, perchè non vi son ca- 
ratteri secondo il modulo 2. 
Può allora dimostrarsi (Lejeune Dirichlet, Opera citata, p. 333) che esiste 
sempre un numero « scelto frai numeri 0 e 1 , e con numero X scelto fra 0,1, 
2 .... , 2^"' — 1 , tali che si abbia 
• « = (— 1)".5^ (mod. 2^;. 
Essi sono gì* indici di n relativamente al modulo 2^. 
Se ora si denotano con , t, le radici dellequazione .^^^' = 1 , cioè se r^=l, 
= — 1 , e con r]^ , 0, , . . . , tq^p---., le radici dell equazione 
, 2^-»- 1) , 
sono i caratteri del numero n secondo il modulo 2^. 
In particolare, se p = 2 , À = 0, non vi sono che due caratteri 
Xo = t; = 1 , y, = z1 = i-\T . 
Se e = 3 , vi sono quattro caratteri 
= . X, = < < . -OÌ , Xi = ri] ; 
poiché 
i quattro caratteri sono tutti reali , e propriamente 
Xo = 1 > X. = (- 1)' , X, - (- ir , X3 =^ (- 1)"'' • 
Questi, che compariscono qui come caratteri rispetto al modulo 8, sono, come 
fra poco si vedrà , i caratteri certamente reali rispetto a qualunque potenza più 
elevata di 2. 
Frai caratteri d\in numero n rispetto al modulo 2^ ve ne ha di quelli , che 
sono anche caratteri rispetto al modulo 2^"^(y = 1 , 2 . . . . . p — 2) , e questi si chia- 
mano i caratteri improprii rispetto al modulo 2^, per distinguerli dai rimanenti 
detti jiroprii. 
e-» 
• C = 1 
Cloe se 
'Or = cos ^'^^ + i sen -J^ , (r = 0 , 1 , 2 , . 
1 numeri 
