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Terni iuo coli' annunzio che in prosiegui i alcuni problemi di (questo Capitolo 
saranno riprosi in considerazione coli' intento di trovar valori non assintotici, ma 
completi (X, 83, 89; XI, 109; XII, 123, 124). 
CAPITOLO Vili. 
60. La memoria di Riemann. La funzione Z's) per valori complessi della 
variabile. Suo prolungamento analitico. Valori di ^(s) per s~ — 2w , 0 , 2///, , 
— (JIjii — 1) ^ '2i/i — 1. — Il metodo inaugurato da Tchebiclief per lo studio della 
funzione ^(x) è senza dubio interessante; ma esso oltre ad ammettere, come po- 
stulato, l'esistenza di alcuni limiti , non fornisce che espressioni assintoticbe . le 
quali non possono addirittura considerarsi come formole d'approssimazione per va- 
lori finiti della variabile. 
Più importante è certo lo studio , che si propone di rinvenire una formola , 
che dia l'espressione completa del valore di 0 (./•). Giacché questa deve contenere 
implicitamente in sé la spiegazione di quanto ancora c' è di misterioso nella di- 
stribuzione dei numeri primi. 
Il problema è arduo, giacché la funzione e(./') presenta il carattere di avere 
un numero infinito di discontinuità, e i punti in cui queste si verificano, cioè i 
numeri primi, non debbono apparire esplicitamente nella formola da ricavarsi (cfr. 
I, 1). Rimanendo latenti tali discontinuità è d'uopo, per dedurre in modo inat- 
taccabile il risultato finale, maneggiare le formole colle più grandi precauzioni , 
onde non incorrere in trasformazioni non lecite. 
Colla memoria 
Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gren- 
ze. Monatsbcrichte der Berlmer Akademìe . November 1859; oppure Gesanimdte 
iiiath. \V(>rke, 2^ ediz. , 1892, p. 145, o anche opuscolo a parte contenente la tra- 
duzione francese di L. Laugel, 1895, 
Riemann dette un valido impulso alla soluzione della quistione. Non per- 
venne però a stabilire il risultato con metodo inattaccabile, anzi egli stesso notò 
lacune nei suoi ragionamenti. Né dalla sua formola s'è potuto finora trarre par- 
tito per calcolare esattamente il valore della funzione, o almeno per determinarne 
un valore approssimato insieme ai limiti frai quali è compreso l'errore. Ma oggi 
non si ha più alcun dubio sulla validità della sua formola , poiché essa è stata 
recentemente controllata con procedimento, che è al sicuro di qualunque critica. 
Comincio in questo Capitolo a render conto del lavoro di Riemann , accom- 
pagnandolo cogli sviluppi atti ad agevolarne la comprensione, e colle varianti 
escogitate per semplificare ed ampliare, o conducenti a rettificazioni di minor conto. 
Nel Capitolo seguente andrò esponendo i lavori diretti a C(jlmare le lacune più 
gravi. 
Ora qui più che mai è d'uopo eh' io invochi la indulgenza di chi ha la pa- 
zienza di seguire il mio lavoro. Io non considero questo come una monografia, che 
dispensi il lettore dallo studio di tutte le pubblicazioni anteriori suU'argoniento. 
Se diversamente facessi non terrei conto della raccomandazione racchiusa nel Pro- 
