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gramma di concorso circa la forma compendiosa. Io stimo invece dover fare un 
lavoro di sintesi. Quando l'ometter dimostrazioni o sviluppi non porta danno alla 
chiara comprensione dei risultati , io mi limito a rimandare esftlicitamente o im- 
plicitamente il lettore ai lavori originali. Invece riferisco tutto, anclie abbondando 
in spiegazioni, quando il tacere, o Tesser conciso, può toglier luce a idee che nel 
seguito importa che il lettore abbia chiaramente percepite, o quando gli sviluppi 
debbano servire di sostrato a concetti nuovi, chr^ intendo di introdurre. 
Questo criterio, fin qui seguito, mi consiglia la seguente modalità nel conti- 
nuare la compilazione. Xella classica memoria di Riemann e in tutte quelle, che 
ad essa metton capo, si ricorre, più largamente che prima non s"era fatto, all'A- 
nalisi, e specialmente alla Teoria delle funzioni di variabile complessa, ciò nello 
intento di costruire gli elementi analitici, che entrar dovranno nella formola, che 
si ha in vista. Vi è dunque in esse una parte di Analisi, che può stare a sè, an- 
che prescindendo dalla sua applicazione alla Teoria dei numeri. Di questa parte 
dunque, generalmente, riferirò solo i concetti iniziali e i risultati. Riprenderò ad 
esporre i ragionamenti quando verrò ad applicare i precedenti enunciati alla que- 
stione sui numeri primi, oggetto del lavoro. 
Gli elementi analitici sopra nominati sono forniti dallo s udio della funzione 
rappresentata dalla serie 
t'^ — ^. ; -T 3, . ^. . .... , 
ni 
la quale ( V, 29) gode della proprietà rinvenuta da Eulero ed espressa dalla egua- 
glianza 
Ora identità del genere di questa , del genere della (16) fornita dal teorema 
di Tchebichef esposto nel [IV, 26, 70^, debbono essere, nella presente teoria, di 
molto interesse. Infatti, nella ricerca della espressione della funzione 6 (./•), i nu- 
meri primi, dovendo essi stessi venir considerati come ignote, una eguaglianza, che 
trasforma una funzione dei soli numeri primi, in una conosciuta funzione di tutti 
i numeri della serie naturale, deve riuscire un potente istrumento. 
La funzione ^(s), nel Capitolo V, fu pensata soltanto per valori reali della 
variabile 5, ma è facile vedere che tanto la serie, quanto il prodotto infinito, per 
valori complessi di s, tali che la parte reale di s (che ad imitazione di molti 
rappresenterò con Sl(s)) superi 1-f e. e essendo una quantità positiva arbitra- 
riamente piccola, convergono assolutamente ed uniformemente, e si mantengono 
eguali: sicché la serie, e l'inverso del prodotto rappresentano una funzione olo- 
morfa della variabile complessa s nella regione del piano di questa a destra della 
parallela all'asse immaginario alla distanza 1 da quest'a.sse. la quale funzione 
non si annulla mai in tale regione, perchè il prodotto è convergente. 
La memoria di Ricmann comincia colla ricerca del prolungamento anali- 
