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tico della funzione indicata dalla .serie suddetta e rinviene una funzione uniforme, 
che mentre coincide con 2 — in tutta la parte del piano, in cui questa è conver- 
1/1=1 
gente , rimane definita in tutta il piano. 
Per far ciò s'immagini tracciato nel piano della variabile complessa z=.x-\-iy 
un contorno C formato 1° della parte dell'asse reale positivo da + oo ad un punto 
A a distanza e dall origine 0 , 2° dalla circonferenza descritta con centro 0 e rag- 
gio e, 3° della parte dell'asse reale positivo da A fino all' x , e si consideri l'in- 
tegrale esteso a questo contorno 
Questo , a causa della funzione politropa ( — e)'"^ = , ha infiniti 
valori . ma se ne fissa uno supponendo che , allorquando z parte da + > ^i lis- 
log — -) = log z — IT. , log z essendo reale. 
Ciò premesso per mezzo della definizione della funzione r(5) si ricava imme- 
diatamente 
e quindi agevoli trasformazioni conducono all'eguaglianza 
c 
Ora il secondo membro di questa definisce, per qualunque valore della varia- 
bile complessa 5, una funzione uniforme, la quale eccetto che nel punto 5=1, è 
dovunque finita; e si ha che il valor limite della funzione per 5=1 è co; ma 
il valor limite del prodotto della funzione per s — 1 è 1 ; quindi 5 = 1 è un polo 
semplice della funzione. 
co ^ 
Intendendo da ora in poi con ?(s) non più la somma della serie , ma 
m=l 
la sopradetta funzione uniforme, si potrà conchiudere che ?(5) estende la funzione 
ce 
2 — a tutto il piano, ossia ne dà il prolungamento analitico. 
m=i 
Un facile calcolo fa rinvenire i seguenti risultati , nei quali le B indicano, 
come al solito, i numeri bernoulliani, 
(76) ^(2m)^(-ir-*-----— B,^ , ?(0) = -- . 2»0 - 0 , - [-(2m - l)j = 
