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Osservando iiiHne che iì fattore , che comparisce al secondo membro di 
(77) può scriversi 
ri)=^^-»n[(H-^).-^], 
si vede clie unico polo della funzione, che figura al secondo membro è s=ì , e 
si ritrovano i valori di ?( — 2m) , e — (2w — 1)] forniti dalle (76). 
De la Vallke-Poussin , nel N. 3 del lavoro, che in seguito avrò spesso oc- 
casione di citare, 
Recherches analytiques sur la Théorie des nombres premiers. An- 
nales de la Société Scieniijìque de Bruxelles, t. XX, 1896, 
comincia collo estendere la funzione alla striscia del piano della variabile com- 
plessa s racchiusa fra la parallela all'asse immaginario alla distanza .1 , e que- 
st'asse medesimo. 
Ciò si fa subito osservando che 
1 _ Ax xAx 
0 
oo 
2/' 
quindi 
dx 
im-\-xy s — 1 ' 
m=i ^ 0 
00 00 
2J____s y /^^ -^'aA' 
La serie, che figura al secondo membro, essendo assolutamente convergente, 
sempre che la parte reale di s sia positiva, la funzione resta definita in tutta 
la regione a destra dell'asse immaginario. La relazione funzionale, di cui parlerò 
nel § seguente, fra ?(1 — s) e presa come definizione nella parte rimanente 
del piano, serve al Poussin per definire ivi la funzione, giacché esprime qualun- 
que Z{s) con ck{s) negativa per mezzo di una K{s) con ^{s) positiva. 
Prima di andar oltre è bene notare un'altra forma di K{s) , che alcune volte 
riesce utile. Applicando la formola sommatoria di Mac-Laurin , si trova facilmente 
tn=i 
donde „ 
?(s) = lim(y-^-^) 
•"^ ^ n=x\ ^ 1 — s' 
m=i 
e 
